Mostre que a matriz simétrica [lla & b b & c] é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz simétrica
A = a & b b & c
é diagonalizável. Para isso vamos calcular seus autovalores e autovetores, usando o polinômio característico e explorando a propriedade de simetria que garante ortogonalidade de autovetores associados a autovalores distintos.

Passo 2

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = a-lambda & b b & c-lambda = (a-lambda)(c-lambda)-b^2 = lambda^2 - (a+c),lambda + (ac - b^2)
O discriminante desse polinômio é
De<a = (a+c)^2 - 4,(ac - b^2) = (a-c)^2 + 4b^2 ;>=;0,
logo sempre real.

Passo 3

Da equação
lambda^2 - (a+c),lambda + (ac - b^2)=0
decorrem os autovalores reais
lambda1,2 = ,a+c pm raizDe<a,2

Passo 4

Para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I),vi=0. Um autovetor correspondente a lambdai é
vi = lambdai - c [6pt] b,
que não é o vetor nulo. Se lambda1neqlambda2, então v1 e v2 são linearmente independentes. Além disso, por A ser simétrica, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais, pois
v1^T A v2 = lambda2,v1^T v2, v2^T A v1 = lambda1,v2^T v1 ;Longrightarrow; (lambda1-lambda2),v1^T v2=0 ;Longrightarrow; v1^T v2=0
]

Passo 5

No caso degenerado lambda1=lambda2 temos De<a=0, o que implica b=0 e a=c, ou seja
A = aI2times2,
que é trivialmente diagonalizável. Em todas as situações obtemos dois autovetores independentes, logo A é diagonalizável em R^2.

Resposta

A matriz
a & b [3pt] b & c
é diagonalizável, pois tem dois autovalores reais e admite uma base de autovetores linearmente independentes (ortogonais se os autovalores forem distintos).]

Exercícios relacionados