O enunciado pede para mostrar que a matriz simétrica
é diagonalizável. Para isso vamos calcular seus autovalores e autovetores, usando o polinômio característico e explorando a propriedade de simetria que garante ortogonalidade de autovetores associados a autovalores distintos.
Para cada lambdai resolvemos (A-lambdai I),vi=0. Um autovetor correspondente a lambdai é
vi = lambdai - c [6pt] b,
que não é o vetor nulo. Se lambda1neqlambda2, então v1 e v2 são linearmente independentes. Além disso, por A ser simétrica, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais, pois
v1^T A v2 = lambda2,v1^T v2, v2^T A v1 = lambda1,v2^T v1 ;Longrightarrow; (lambda1-lambda2),v1^T v2=0 ;Longrightarrow; v1^T v2=0
]
Passo 5
No caso degenerado lambda1=lambda2 temos De<a=0, o que implica b=0 e a=c, ou seja
A = aI2times2,
que é trivialmente diagonalizável. Em todas as situações obtemos dois autovetores independentes, logo A é diagonalizável em R^2.
Resposta
A matriz
a & b [3pt] b & c
é diagonalizável, pois tem dois autovalores reais e admite uma base de autovetores linearmente independentes (ortogonais se os autovalores forem distintos).]