Considere um pivô central equipado com canhão final, para irrigar círculo completo. O comprimento da linha lateral é 520,5 \mathrm{~m}. Os emissores estão espaçados de 3,0 \mathrm{~m}. O canhão tem raio de alcance de 27 m e a eficiência de aplicação na área irrigada pelo canhão é de 60 \%. A eficiência de aplicação na área básica é de 80 \%. Dados adicionais:
  • Evapotranspiração de projeto: 5 \mathrm{~mm} / \mathrm{dia}
  • Tempo de revolução do pivô com percentímetro a 100 \%: 21 \mathrm{~h}
Pede-se:
a) A vazão requerida na área básica
b) A vazão requerida no canhão
c) A vazão do sistema

Passo 1

Vamos entender certinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Comprimento da linha lateral (raio do pivô): } L=520{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Espaçamento entre emissores: } 3{,}0\\ \mathrm{m}\\ (\text{dado que não será necessário para as vazões pedidas, eu comento mais adiante}),\\\ &\text{Raio de alcance do canhão (end-gun): } R_g=27\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Eficiência de aplicação na área básica: } \eta_b=80\%=0{,}80,\\\ &\text{Eficiência de aplicação na área do canhão: } \eta_g=60\%=0{,}60,\\\ &\text{Evapotranspiração de projeto (necessidade hídrica): } ET_c=5\\ \mathrm{mm/dia}=0{,}005\\ \mathrm{m/dia},\\\ &\text{Tempo de revolução (percentímetro a 100\%): } t_{rev}=21\\ \mathrm{h}. \end{aligned}ôçãááõãêçãááêçãáãçãíçãí
O que se pede:
a) a vazão requerida na área básica (vazão que abastece a área coberta pela linha lateral, sem o canhão);
b) a vazão requerida no canhão (a vazão destinada à área irrigada pelo canhão);
c) a vazão do sistema (vazão total do conjunto).
Observação importante: o pivô está operando continuamente, então o sistema funciona 24 horas por dia. Para satisfazer a necessidade diária de água ( ET_c), calculamos o volume diário necessário em cada zona e depois dividimos por 24 h para obter vazão média em \mathrm{m^3/h}. O dado do espaçamento entre emissores aparece no enunciado, mas para calcular vazões totais por área não é necessário — ele seria usado se pedissem vazão por emissor ou por metro de linha.

Passo 2

Calcular as áreas geométricas envolvidas (explico a ideia geométrica):
  • A área básica é o círculo de raio L. Fórmula da área do círculo: \displaystyle A=\pi r^2, onde r é o raio. Aqui:
A_b=\pi L^2=\pi\,(520{,}5)^2\\ \mathrm{m^2}.
Faço a conta passo a passo:
(520{,}5)^2=520{,}5\times520{,}5=270\,920{,}25,
A_b=\pi\cdot270\,920{,}25\approx 851\,121{,}07\\ \mathrm{m^2}.
  • A área irrigada pelo canhão, operando no final do braço, corresponde ao anel (corona) exterior entre o círculo de raio L e o círculo de raio L+R_g. Usamos diferença de quadrados:
A_g=\pi\big[(L+R_g)^2-L^2\big]=\pi\big( (L+R_g)-L\big)\big((L+R_g)+L\big)=\pi\cdot R_g\cdot(2L+R_g).
Substituindo:
A_g=\pi\cdot27\cdot(2\cdot520{,}5+27)=\pi\cdot27\cdot1\,068= \pi\cdot28\,836.
Calculando:
A_g\approx 90\,591{,}00\\ \mathrm{m^2}.
(Resumo numérico)
A_b\approx 851\,121{,}07\\ \mathrm{m^2},\qquad A_g\approx 90\,591{,}00\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Calcular o volume de água diário necessário em cada zona. Raciocínio: a necessidade volumétrica por dia em uma área é \text{profundidade diária}\times\text{área}áá dividido pela eficiência de aplicação (porque parte da água não é efetivamente aproveitada). A profundidade diária é ET_c=0{,}005\\ \mathrm{m/dia}.
  • Volume diário necessário para a área básica:
V_b=\frac{ET_c\cdot A_b}{\eta_b}=\frac{0{,}005\cdot A_b}{0{,}80}=0{,}00625\cdot A_b.
Substituindo numericamente:
V_b=0{,}00625\cdot851\,121{,}07\approx 5\,319{,}51\\ \mathrm{m^3/dia}.
  • Volume diário necessário para a área do canhão:
V_g=\frac{ET_c\cdot A_g}{\eta_g}=\frac{0{,}005\cdot A_g}{0{,}60}=0{,}008333\ldots\cdot A_g.
Substituindo:
V_g=0{,}0083333333\cdot90\,591{,}00\approx 754{,}93\\ \mathrm{m^3/dia}.
  • Volume total diário requerido:
V_{tot}=V_b+V_g\approx 5\,319{,}51+754{,}93=6\,074{,}44\\ \mathrm{m^3/dia}.
Explicando em palavras: primeiro calculamos quanto cada área precisa efetivamente receber por dia (corrigindo pela eficiência), depois somamos para obter o total que a bomba/sistema precisa fornecer por dia.

Passo 4

Converter os volumes diários em vazões médias horários (o pedido é em vazão, normalmente dada em \mathrm{m^3/h}). Como o sistema opera continuamente 24 h/dia, a vazão média é o volume diário dividido por 24 h:
  • Vazão na área básica:
Q_b=\frac{V_b}{24}=\frac{5\,319{,}51}{24}\approx 221{,}65\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Vazão no canhão:
Q_g=\frac{V_g}{24}=\frac{754{,}93}{24}\approx 31{,}46\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Vazão total do sistema:
Q_{sist}=\frac{V_{tot}}{24}=\frac{6\,074{,}44}{24}\approx 253{,}11\\ \mathrm{m^3/h}.
Verificação rápida: Q_b+Q_g\approx 221{,}65+31{,}46=253{,}11\\ \mathrm{m^3/h}, que bate com Q_{sist}.
Comentário sobre o t_{rev}=21\\ \mathrm{h}: esse dado informa a velocidade de rotação (cada revolução em 21 h), que afeta uniformidade e intensidade instantânea em cada ponto quando passa o bocal, mas para calcular a vazão média do sistema necessária para suprir a necessidade diária usamos o volume diário total e dividimos por 24 h porque a máquina fica operando continuamente (24 h/dia). Se o sistema fosse operado apenas durante uma janela menor que 24 h, dividiríamos pelo número de horas efetivas de operação por dia — aí o tempo de revolução e a estratégia de operação seriam fundamentais.

Resposta

Q_b\approx 221{,}65\\ \mathrm{m^3/h}
Q_g\approx 31{,}46\\ \mathrm{m^3/h}
Q_{sist}\approx 253{,}11\\ \mathrm{m^3/h}

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