Considere um pivô central que irriga círculo completo. A vazão necessária à área básica é 321 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{h}^{-1}, a lateral apresenta 522 m de comprimento e os emissores estão espaçados de 2,8 \mathrm{~m}. Calcule a vazão do emissor situado a 280 m do ponto do pivô ( 100^{\circ} emissor). Calcule também o diâmetro do bocal desse emissor, sabendo que o coeficiente de descarga é de 0,93 e a carga de pressão de operação do emissor é de 10 m .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a vazão do emissor situado a 280\\ \mathrm{m} do ponto do pivô (o “100 ^\circ” emissor) e (2) calcular o diâmetro do bocal desse emissor sabendo C_d=0,93 e carga de operação H=10\\ \mathrm{m}.
Informações fornecidas:
  • Vazão necessária à área básica: Q = 321\\ \mathrm{m}^3\mathrm{h}^{-1}.
  • Comprimento da lateral (raio do pivô): R = 522\\ \mathrm{m}.
  • Emissores espaçados linearmente ao longo da lateral: s = 2,8\\ \mathrm{m}.
  • Emissor em análise localizado a r = 280\\ \mathrm{m} do pivô.
  • Coeficiente de descarga do bocal: C_d = 0,93.
  • Carga de pressão de operação do emissor: H = 10\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo como cada emissor “atira” água numa pivô central de círculo completo (didática curta e concreta).
Quando a lateral gira, cada emissor descreve um círculo de raio r. A área que um emissor cobre é aproximadamente a área de um anel (uma faixa anular) de espessura igual ao espaçamento entre emissores s. A área dessa faixa é dada pela circunferência naquele raio vezes a espessura:
\Delta A \approx 2\pi r \, s.
Comentário didático: essa fórmula vem do elemento diferencial de área em coordenadas polares \mathrm{d}A = 2\pi r\,\mathrm{d}r. Se \mathrm{d}r for substituído por um espaçamento finito s, obtemos 2\pi r s. É a maneira usual de estimar a área servida por um emissor numa pivô.

Passo 3

A vazão de cada emissor é proporcional à área que ele serve. Como o pivô rega um círculo completo de raio R, a área total é
A_{\text{total}}=\pi R^2.
Portanto a vazão do emissor localizado em r é
q(r)=Q\cdot\frac{\Delta A}{A_{\text{total}}} =Q\cdot\frac{2\pi r s}{\pi R^2} =Q\cdot\frac{2 r s}{R^2}.
Aqui: q(r) é a vazão do emissor em \mathrm{m}^3\mathrm{h}^{-1}, Q é a vazão total da área básica, r o raio do emissor, s o espaçamento linear entre emissores e R o raio da pivô.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos para obter q(280\\ \mathrm{m}).
Calculemos primeiro o fator \dfrac{2 r s}{R^2}:
2\cdot r\cdot s = 2\cdot 280\cdot 2{,}8 = 1\,568.
R^2 = 522^2 = 272\,484.
\frac{2 r s}{R^2}=\frac{1\,568}{272\,484}\approx 0{,}005754.
Agora a vazão do emissor:
q(280)=321\cdot 0{,}005754 \approx 1{,}8479\\ \mathrm{m}^3\mathrm{h}^{-1}.
Arredondando convenientemente para a mesma precisão prática:
q(280)\approx 1{,}848\\ \mathrm{m}^3\mathrm{h}^{-1}.

Passo 5

Agora vamos calcular o diâmetro do bocal que fornece essa vazão sob a carga H=10\\ \mathrm{m}. A fórmula de descarga de um orifício (bocal) sob carga é
q = C_d \, A \, \sqrt{2 g H},
onde:
  • q é a vazão em \mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-1},
  • C_d é o coeficiente de descarga (adimensional),
  • A é a área do orifício em \mathrm{m}^2,
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}),
  • H é a carga (altura) em \mathrm{m}.
Observação importante sobre unidades: a vazão que encontramos está em \mathrm{m}^3\mathrm{h}^{-1}; devemos converter para \mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-1} antes de usar a fórmula.

Passo 6

Converter a vazão do emissor para \mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-1}:
q_h = 1{,}8479\\ \mathrm{m}^3\mathrm{h}^{-1}\quad\Rightarrow\quad q = \frac{q_h}{3600} = \frac{1{,}8479}{3600}\approx 0{,}0005133\\ \mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-1}.
Calcular o termo \sqrt{2gH}:
\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 10}=\sqrt{196{,}2}\approx 14{,}007.
Isolando a área A da fórmula de descarga:
A=\frac{q}{C_d\sqrt{2gH}}.
Substituindo valores:
A \approx \frac{0{,}0005133}{0{,}93\cdot 14{,}007} = \frac{0{,}0005133}{13{,}0266}\approx 3{,}942\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 7

Converter a área do orifício em diâmetro. A relação entre área e diâmetro é
A=\frac{\pi d^2}{4}\quad\Rightarrow\quad d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Substituindo A:
d=\sqrt{\frac{4\cdot 3{,}942\times 10^{-5}}{\pi}} \approx 0{,}007084\\ \mathrm{m}.
Em unidades práticas:
d\approx 0{,}007084\\ \mathrm{m}=7{,}08\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Comentário final e incentivo: resumindo, o emissor a 280\\ \mathrm{m} precisa de uma vazão pequena (cerca de 1{,}85\\ \mathrm{m}^3\mathrm{h}^{-1}), e isso corresponde a um bocal com diâmetro de aproximadamente 7{,}08\\ \mathrm{mm}. Boa! Você já tem os passos claros para reproduzir esse cálculo para qualquer outro raio — é só trocar r na fórmula do passo 3 e repetir a parte do bocal. Vai dar certo na prova!

Resposta

q(280\\ \mathrm{m})\approx 1{,}848\\ \mathrm{m}^3\mathrm{h}^{-1}
d\approx 7{,}08\\ \mathrm{mm}

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