Considere uma placa com comprimento total de 0,8 m e velocidade de corrente livre igual a 2,0 m / s. Ar 20^circ C : Massa especifica: 1,204 Kg / m^3 Viscosidade cinemática: 1,51 times 10^-5 m^2 / s.
Sendo dado pelo perfil senoidal: tauw=pi mu Uinfty2 de
(a) Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede e dada pela expressão: de
(b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por: m / s e, considerando um escoamento laminar sobre uma placa, determine a tensão de cisalhamento na metade da placa ( Pa ) e a velocidade ( ) correspondente na metade da espessura da camada limite nesta posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um escoamento laminar sobre uma placa de 0,8 m de comprimento e velocidade livre u(y)Uinfty=sin!l(pi2,yde m/s. A gente tem ar a 20 °C com densidade tauw = pi,mu,Uinfty2,de kg/m³ e viscosidade cinemática m²/s, ou seja, viscosidade dinâmica . O perfil de velocidade dentro da camada-limite é dado por
O que a questão pede:
(a) mostrar que a tensão de cisalhamento na parede é
(b) usando (perfil senoidal!) e considerando x = metade da placa, calcular numericamente nessa posição e a velocidade em .
Pra resolver vamos precisar:
  • Saber que .
  • Diferenciar o perfil senoidal.
  • Calcular em m.
  • Achar e daí .
  • Calcular em .

Passo 2

(a) Demonstração de tauw ;=;mu;partial upartial y|y=0
  1. A definição de tensão de cisalhamento na parede é
partial upartial y = Uinfty ,ddy!l[sinl(tfracpi2,tfracyde
  1. Como partial upartial y|y=0 = Uinfty;pi2,de, vamos derivar em relação a tauw = mu cdot Uinfty;pi2,de:
  1. Em , temos , logo
  1. Multiplicando por , fica
que é justamente o que queríamos mostrar.

Passo 3

(b) Cálculo em Rex = Uinfty , xnu = 2,0 times 0,41,51times10^-5 approx 5,3times10^4 m (metade da placa)
  1. Primeiro o número de Reynolds local:
de
  1. Então a espessura da camada-limite:
mu = rho,nu = 1,204times1,51times10^-5 approx 1,82times10^-5 Pa·s
  1. A viscosidade dinâmica é
tauw = pi,l(1,82times10^-5r),2,0 2times8,35times10^-3 approx 6,8times10^-3 Pa
  1. Substituindo em
    :

Passo 4

Velocidade em ul(tfracde nessa mesma posição:

Resposta

Tensão de cisalhamento na parede em m:
Pa.
Velocidade em nessa posição:
m/s.

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