Considere uma placa com comprimento total de e velocidade de corrente livre igual a . : Massa especifica: Viscosidade cinemática: .
Sendo dado pelo perfil senoidal:
(a) Demonstre que a tensão de cisalhamento na parede e dada pela expressão:
(b) Considerando (para este perfil de velocidades) a espessura da camada limite dada por: e, considerando um escoamento laminar sobre uma placa, determine a tensão de cisalhamento na metade da placa ( Pa ) e a velocidade ( ) correspondente na metade da espessura da camada limite nesta posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um escoamento laminar sobre uma placa de 0,8 m de comprimento e velocidade livre m/s. A gente tem ar a 20 °C com densidade kg/m³ e viscosidade cinemática m²/s, ou seja, viscosidade dinâmica . O perfil de velocidade dentro da camada-limite é dado por
O que a questão pede:
(a) mostrar que a tensão de cisalhamento na parede é
(b) usando (perfil senoidal!) e considerando x = metade da placa, calcular numericamente nessa posição e a velocidade em .
Pra resolver vamos precisar:
Saber que .
Diferenciar o perfil senoidal.
Calcular em m.
Achar e daí .
Calcular em .
Passo 2
(a) Demonstração de
A definição de tensão de cisalhamento na parede é
Como partial upartial y|y=0 = Uinfty;pi2,de, vamos derivar em relação a tauw = mu cdot Uinfty;pi2,de:
Em , temos , logo
Multiplicando por , fica
que é justamente o que queríamos mostrar.
Passo 3
(b) Cálculo em Rex = Uinfty , xnu = 2,0 times 0,41,51times10^-5 approx 5,3times10^4 m (metade da placa)
Primeiro o número de Reynolds local:
de
Então a espessura da camada-limite:
mu = rho,nu = 1,204times1,51times10^-5 approx 1,82times10^-5 Pa·s
A viscosidade dinâmica é
tauw = pi,l(1,82times10^-5r),2,0 2times8,35times10^-3 approx 6,8times10^-3 Pa
Substituindo em :
Passo 4
Velocidade em ul(tfracde nessa mesma posição:
Resposta
Tensão de cisalhamento na parede em m: Pa.
Velocidade em nessa posição: m/s.