Um tanque agitado de
é enchido com salmqura com uma concentração inicial de cloreto de sódio
de
. Posteriormente uma vazão de
de água pura é alimentada. Sendo igual à vazão da salmoura que sai do tanque. Na parte inferior do tanque se tem um suprimento de cristais de cloreto de sódio que são dissolvidos a uma taxa de
. Pede-se:
O modelo do problema com as respectivas condições de contorno ou iniciais.
O modelo do problema com as respectivas condições de contorno ou iniciais.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aí é um tanque de volume fixo V=2 m³ que já começa com uma salmoura concentrada em 1 kg/m³ de NaCl. Depois disso, entra água pura a uma vazão de 0,01 m³/s e sai salmoura na mesma vazão. Ainda por cima, na parte de baixo do tanque tem cristais de sal que se dissolvem a 0,02 kg/s.
Conteúdo da matéria: balanço de massa (diferenciais e condições iniciais).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: balanço de massa (diferenciais e condições iniciais).
O que vamos precisar:
- Definir a variável de estado (massa de sal no tanque).
- Escrever a taxa de variação dessa massa (entradas – saídas).
- Colocar a condição inicial.
Passo 2
Vamos chamar de
a massa de cloreto de sódio (NaCl) dentro do tanque em qualquer instante
.
- Entrada de sal:
- A água que entra é pura, então não traz sal.
- Os cristais se dissolvem a uma taxa constante de
.
Logo, taxa de entrada de sal =.
- Saída de sal:
- Sai salmoura à vazão
. - A concentração dentro do tanque em
é . - Então, taxa de saída = vazão × concentração =
- Sai salmoura à vazão
Passo 3
Montando o balanço de massa:
Passo 4
Precisamos ainda da condição inicial, que vem do enunciado:
No instante a concentração é
em um volume de
, logo
No instante
Resposta
O modelo é a equação diferencial com condição inicial:
[
\boxed{
\frac{dm}{dt} = 0{,}02 - 0{,}005,m(t),
\quad m(0)=2\ \mathrm{kg}.
}
\boxed{
\frac{dm}{dt} = 0{,}02 - 0{,}005,m(t),
\quad m(0)=2\ \mathrm{kg}.
}