Um tanque agitado de V=2 m^3 é enchido com salmqura com uma concentração inicial de cloreto de sódio (t=0) de 1 kg / m^3. Posteriormente uma vazão de dotell= 0,01 m^3 / s de água pura é alimentada. Sendo igual à vazão da salmoura que sai do tanque. Na parte inferior do tanque se tem um suprimento de cristais de cloreto de sódio que são dissolvidos a uma taxa de m=0.02 kg / s. Pede-se:
O modelo do problema com as respectivas condições de contorno ou iniciais.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aí é um tanque de volume fixo V=2 m³ que já começa com uma salmoura concentrada em 1 kg/m³ de NaCl. Depois disso, entra água pura a uma vazão de 0,01 m³/s e sai salmoura na mesma vazão. Ainda por cima, na parte de baixo do tanque tem cristais de sal que se dissolvem a 0,02 kg/s.
Conteúdo da matéria: balanço de massa (diferenciais e condições iniciais).
O que vamos precisar:
  • Definir a variável de estado (massa de sal no tanque).
  • Escrever a taxa de variação dessa massa (entradas – saídas).
  • Colocar a condição inicial.

Passo 2

Vamos chamar de 0,01 m^3stimes m(t)2 m^3 = 0,012,m(t) = 0,005,m(t) a massa de cloreto de sódio (NaCl) dentro do tanque em qualquer instante .
  1. Entrada de sal:
    • A água que entra é pura, então não traz sal.
    • Os cristais se dissolvem a uma taxa constante de .
      Logo, taxa de entrada de sal = .
  2. Saída de sal:
    • Sai salmoura à vazão .
    • A concentração dentro do tanque em é .
    • Então, taxa de saída = vazão × concentração =

Passo 3

Montando o balanço de massa:
dmdt = (entrada de sal) - (saída de sal) = 0,02 - 0,005,m(t) í

Passo 4

Precisamos ainda da condição inicial, que vem do enunciado:
No instante m(0) = 1 kgm^3times 2 m^3 = 2 kg a concentração é em um volume de , logo

Resposta

O modelo é a equação diferencial com condição inicial:
[
\boxed{
\frac{dm}{dt} = 0{,}02 - 0{,}005,m(t),
\quad m(0)=2\ \mathrm{kg}.
}

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