3.1 Considere uma placa de espessura L=0,20 \mathrm{~m} e condutividade térmica k=40 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), sem geração interna de calor. A superfície em x=0 está mantida na temperatura uniforme T_{1} e a superfície em x=L, na temperaturá uniforme T_{2}. Calcule o fluxo de calor através da placa, em condições estacionárias, em cada um dos casos seguintes:
T_{1},{ }^{\circ} \mathrm{C} 100 -20 -40
T_{2},{ }^{\circ} \mathrm{C} 0 40 -10
Especifique também o sentido do fluxo de calor em cada caso.
Resposta: 20 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2},-12 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2},-6 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa plana de espessura L=0,20\\ \mathrm{m}, condutividade térmica k=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ}\mathrm{C}), sem geração interna e em regime estacionário unidimensional.
O objetivo é calcular o fluxo de calor por condução através da placa, conhecendo as temperaturas das faces x=0 T_{1} e x=L T_{2}.

Passo 2

Pela lei de Fourier para condução unidimensional em regime permanente, o fluxo de calor por unidade de área é
q'' = -\,k\,\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,,
onde o sinal negativo indica que o calor flui no sentido de decrescer a temperatura. Adotamos o fluxo positivo quando o calor vai de x=0 para x=L.

Passo 3

Caso 1: T_{1}=100\\ ^\circ\mathrm{C}, T_{2}=0\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcula-se
q'' = -\,40\;\frac{0 - 100}{0{,}20} = -\,40\;\bigl(-500\bigr) = 20000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 = 20\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2.

Passo 4

Caso 2: T_{1}=-20\\ ^\circ\mathrm{C}, T_{2}=40\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcula-se
q'' = -\,40\;\frac{40 - (-20)}{0{,}20} = -\,40\;\frac{60}{0{,}20} = -\,40 \times 300 = -12000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 = -12\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Caso 3: T_{1}=-40\\ ^\circ\mathrm{C}, T_{2}=-10\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcula-se
q'' = -\,40\;\frac{-10 - (-40)}{0{,}20} = -\,40\;\frac{30}{0{,}20} = -\,40 \times 150 = -6000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 = -6\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2.

Resposta

Caso 1: q''=20\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2, fluxo de calor de x=0 para x=L.
Caso 2: q''=-12\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2, fluxo de calor de x=L para x=0.
Caso 3: q''=-6\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2, fluxo de calor de x=L para x=0.

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