Um reservatório, de base circular ( \mathrm{r}=40 \mathrm{~cm} ) e 1 m de altura, possui 100 I de água, 200 I de óleo (\delta=0,86) e 150 I de glicerina (\delta=1,26). Esse reservatório se encontra fechado para a atmosfera e possui ar na parte superior. a) Determine a pressão do ar considerando que a pressão no fundo do reservatório é de 0,24 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. b) Caso o reservatório tivesse somente glicerina qual seria a altura de fluido para se manter a mesma pressão do ar e de fundo. Re:a) A=0,5 m2; hH2O=0,2 m; hol=0,4 m; hgli=0,3 m; Par= 1478 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{2}; b) hgli= 0,73 m.

Passo 1

O reservatório tem base circular de raio r=0,4\\ \mathrm{m} e está cheio com três camadas de fluido — água 100\\ \mathrm{L}, óleo 200\\ \mathrm{L}, \delta=0,86 e glicerina 150\\ \mathrm{L}, \delta=1,26 — sobrepostas, com ar acima. A pressão no fundo é dada como
p_{\text{fundo}} = 0,24\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
Queremos usar estática dos fluidos para encontrar:
a) a pressão do ar no topo, p_{\text{ar}};
b) se houvesse só glicerina, qual altura h_{\text{gli}} manteria as mesmas p_{\text{ar}} e p_{\text{fundo}}.

Passo 2

Calcular a área da base e as alturas de cada camada a partir dos volumes.
A = \pi\,r^2 = \pi\,(0,4)^2 \approx 0,503\\ \mathrm{m^2}\quad\text{(aproximamos }0,5\mathrm{\,m^2}\text{)}.
Converter volumes em \mathrm{m^3} e achar alturas:
V_{\text{H}_2\text{O}} = 100\\ \mathrm{L}=0,1\\ \mathrm{m^3}\quad\Rightarrow\quad h_{\text{H}_2\text{O}} = \frac{0,1}{0,5} = 0,2\\ \mathrm{m},
V_{\text{óleo}} = 0,2\\ \mathrm{m^3}\quad\Rightarrow\quad h_{\text{óleo}} = \frac{0,2}{0,5} = 0,4\\ \mathrm{m},óó
V_{\text{gli}} = 0,15\\ \mathrm{m^3}\quad\Rightarrow\quad h_{\text{gli}} = \frac{0,15}{0,5} = 0,3\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar as densidades peso \gamma de cada fluido e suas contribuições de pressão. A densidade peso da água é \gamma_{H_2O}=1000\\ \mathrm{kgf/m^3}.
Para o óleo e a glicerina:
\gamma_{\text{óleo}} = \delta_{\text{óleo}}\;\gamma_{H_2O} = 0,86\times1000 = 860\\ \mathrm{kgf/m^3},óó
\gamma_{\text{gli}} = \delta_{\text{gli}}\;\gamma_{H_2O} = 1,26\times1000 = 1260\\ \mathrm{kgf/m^3}.
As sobrepressões estão dadas por \Delta p_i=\gamma_i\,h_i. Calculamos em \mathrm{kgf/m^2}:
\Delta p_{H_2O} = 1000\times0,2 = 200\\ \mathrm{kgf/m^2},
\Delta p_{\text{óleo}} = 860\times0,4 = 344\\ \mathrm{kgf/m^2},ó
\Delta p_{\text{gli}} = 1260\times0,3 = 378\\ \mathrm{kgf/m^2}.
Converter a pressão do fundo para \mathrm{kgf/m^2}:
p_{\text{fundo}} = 0,24\\ \mathrm{kgf/cm^2} = 0,24\times10^4 = 2400\\ \mathrm{kgf/m^2}.
Logo a pressão do ar é
p_{\text{ar}} = p_{\text{fundo}} - \bigl(\Delta p_{H_2O}+\Delta p_{\text{óleo}}+\Delta p_{\text{gli}}\bigr) =2400 - (200+344+378) = 1478\\ \mathrm{kgf/m^2}.ó

Passo 4

Para ter somente glicerina e manter a mesma p_{\text{ar}} e p_{\text{fundo}}, escrevemos
p_{\text{fundo}} = p_{\text{ar}} + \gamma_{\text{gli}}\,h_{\text{gli}},
2400 = 1478 + 1260\,h_{\text{gli}}\quad\Longrightarrow\quad h_{\text{gli}} = \frac{2400-1478}{1260} \approx 0,73\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) p_{\text{ar}} = 1478\\ \mathrm{kgf/m^2} (equivalente a 0{,}1478\\ \mathrm{kgf/cm^2}).
b) h_{\text{gli}} \approx 0,73\\ \mathrm{m}.

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