Questão 5: \qquad
Um perito policial foi solicitado para desvendar um determinado crime.Ao chegar ao local,constatou que o corpo estava com uma temperatura corpórea 30,5^{\circ} \mathrm{C} .Uma hora e meia depois a temperatura registrada foi de 23,8^{\circ} \mathrm{C} .Qual a estimativa do intervalo de tempo que o perito constatou do momento do crime até o instante que ele fez a primeira aferiçāo de temperatura?Assuma que a temperatura corpórea de uma pessoa en vida 6 ,aproximadamente, 37,0^{\circ} \mathrm{C} e que no local en questāo a temperatura ambiente cra de 22,4^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá duas medições da temperatura do corpo após a morte e pede o tempo decorrido desde o óbito até a primeira medição. O conteúdo é a Lei do Resfriamento de Newton, segundo a qual a temperatura \,T(t)\, de um corpo num ambiente de temperatura constante \,T_a, satisfaz
T(t)=T_a+\bigl(T(0)-T_a\bigr)e^{k\,t},
onde \,T(0)\approx37,0^\circ\mathrm{C}, é a temperatura imediatamente após a morte, \,T_a=22,4^\circ\mathrm{C}, é a temperatura ambiente e k é uma constante negativa.

Passo 2

Chamando de \,t_1, o tempo entre a morte e a primeira aferição, temos as duas equações:
T(t_1)=30,5=22,4+(37,0-22,4)e^{k\,t_1},
T(t_1+1,5)=23,8=22,4+(37,0-22,4)e^{k\,(t_1+1,5)}.

Passo 3

Subtraindo 22,4 de ambos os lados e dividindo a segunda equação pela primeira, elimina-se o fator inicial:
\frac{23,8-22,4}{30,5-22,4} =e^{k\,(t_1+1,5)}\big/[e^{k\,t_1}] =e^{k\cdot1,5}.
Logo
e^{1,5\,k}=\frac{1,4}{8,1}.
Daí
k=\frac{1}{1,5}\ln\!\bigl(\tfrac{1,4}{8,1}\bigr).

Passo 4

Calculando numericamente:
\ln\!\bigl(\tfrac{1,4}{8,1}\bigr)=\ln(0,17284)\approx-1,756,
k\approx\frac{-1,756}{1,5}\approx-1,1707\quad(\mathrm{h}^{-1}).

Passo 5

Para achar \,t_1, voltamos à primeira equação em forma exponencial:
30,5-22,4=(37,0-22,4)e^{k\,t_1} \quad\Longrightarrow\quad e^{k\,t_1}=\frac{8,1}{14,6} \quad\Longrightarrow\quad t_1=\frac{1}{k}\ln\!\bigl(\tfrac{8,1}{14,6}\bigr).

Passo 6

Numericamente,
\ln\!\bigl(\tfrac{8,1}{14,6}\bigr)=\ln(0,55548)\approx-0,588,
t_1\approx\frac{-0,588}{-1,1707}\approx0,503\;\mathrm{h}\approx30,2\;\mathrm{min}.

Resposta

O tempo estimado desde o crime até a primeira medição foi de cerca de 0,50 horas (aproximadamente 30 minutos).

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