Questão 4:
Populações muito grandes enfrentam escassez de alimentos e espaço e têm seu crescimento dificultado e freado.Um modo de incorporar esse fato ao modelo de crescimento populacional tradicional,ó impor um redutor
que diminuirá a taxa de crescimento quahdo
está muito próximo de um limitante
.Tal problema é modelado pela seguinte EDO,a qual é denominada de Equação de crescimento logístico
Aplicando o método dé Bernoulll.determine a solução geral da EDO apresentada.
Populações muito grandes enfrentam escassez de alimentos e espaço e têm seu crescimento dificultado e freado.Um modo de incorporar esse fato ao modelo de crescimento populacional tradicional,ó impor um redutor
Passo 1
Resumindo, temos a equação logística
onde
e
são constantes. O enunciado pede a solução geral usando o método de Bernoulli, que serve para EDOs da forma
Aqui nosso
.
Passo 2
Escrevemos a equação no formato de Bernoulli. Expandindo o lado direito,
ou seja,
Passo 3
Identificamos
,
e
. Para eliminar o termo
, usamos a transformação
Dessa forma,
Passo 4
Substituímos
da equação original em
:
Reorganizando,
que é uma EDO linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Calculamos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
,
Passo 6
Integramos ambos os lados:
logo
Passo 7
Voltando à variável original
, temos
. Assim
Renomeando
, obtemos a forma habitual da solução logística.
Resposta
onde
é constante arbitrária.