Questão 4: \qquad
Populações muito grandes enfrentam escassez de alimentos e espaço e têm seu crescimento dificultado e freado.Um modo de incorporar esse fato ao modelo de crescimento populacional tradicional,ó impor um redutor L-y que diminuirá a taxa de crescimento quahdo y está muito próximo de um limitante L .Tal problema é modelado pela seguinte EDO,a qual é denominada de Equação de crescimento logístico
\frac{d y}{d x}=a(L-y) y . \quad y^{\prime}=a-y-a y^{2}
Aplicando o método dé Bernoulll.determine a solução geral da EDO apresentada.

Passo 1

Resumindo, temos a equação logística
\frac{dy}{dx}=a\,(L-y)\,y,
onde a e L são constantes. O enunciado pede a solução geral usando o método de Bernoulli, que serve para EDOs da forma
y'+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}.
Aqui nosso n=2.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato de Bernoulli. Expandindo o lado direito,
\frac{dy}{dx}=aL\,y - a\,y^{2},
ou seja,
y' - aL\,y = -\,a\,y^{2}.

Passo 3

Identificamos P(x)=-aL, Q(x)=-a e n=2. Para eliminar o termo y^2, usamos a transformação
u = y^{1-n} = y^{-1}.
Dessa forma,
u' = \frac{d}{dx}\bigl(y^{-1}\bigr) = -\,\frac{y'}{y^{2}}.

Passo 4

Substituímos y' da equação original em u':
u' = -\frac{1}{y^{2}}\bigl(aL\,y - a\,y^{2}\bigr) = -\frac{aL}{y} + a = a - aL\,u.
Reorganizando,
u' + aL\,u = a,
que é uma EDO linear de primeira ordem para u(x).

Passo 5

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int aL\,dx\Bigr)=e^{aL\,x}.
Multiplicando a EDO por \mu(x),
e^{aLx}u' + aL\,e^{aLx}u = a\,e^{aLx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{aLx}\bigr)=a\,e^{aLx}.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
u\,e^{aLx} = \int a\,e^{aLx}\,dx + C = \frac{a}{aL}\,e^{aLx} + C = \frac{1}{L}\,e^{aLx} + C,
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u(x) = \frac{1}{L} + C\,e^{-\,aLx}.

Passo 7

Voltando à variável original y, temos y=1/u. Assim
y(x) = \frac{1}{\tfrac{1}{L} + C\,e^{-\,aLx}} = \frac{L}{1 + C\,L\,e^{-\,aLx}}.
Renomeando K = C\,L, obtemos a forma habitual da solução logística.

Resposta

\boxed{y(x)=\frac{L}{1 + K\,e^{-\,aLx}},}
onde K é constante arbitrária.

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