(a) Pela integração sobre todos os comprimentos de onda da lei da radiação de Planck. Eq. 6, mostre que a potência irradiada por metro quadrado da superfície de uma cavidade é dada por
I(T)=\left(\frac{2 \pi^{5} k^{4}}{15 h^{3} c^{2}}\right) T^{4}=\sigma T^{4}
(Sugestão: Faça uma mudança de variável. \operatorname{com} x=h c / \lambda k T. Será encontrada a integral definida
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{3} d x}{e^{x}-1}
que tem o valor \pi^{4} / 15. (b) Verifique que o valor numérico da constante \sigma é 5.67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}^{4}\right).

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, ao integrar a lei de radiação de Planck sobre todos os comprimentos de onda, a potência irradiada por metro quadrado de uma cavidade quente segue a lei
I(T)=\left(\frac{2\pi^5k^4}{15h^3c^2}\right)\,T^4\equiv\sigma\,T^4.
O conteúdo é a integração da distribuição espectral de Planck
I_\lambda(T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5\bigl(e^{hc/(\lambda kT)}-1\bigr)}
para obter I(T)=\displaystyle\int_0^\infty I_\lambda(T)\,d\lambda. Vamos usar a mudança de variável
\displaystyle x=\frac{hc}{\lambda kT}
e o fato de
\int_0^\infty\frac{x^3\,dx}{e^x-1}=\frac{\pi^4}{15}\,.

Passo 2

Escrevemos a irradiância total
I(T)=\int_0^\infty\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5\bigl(e^{hc/(\lambda kT)}-1\bigr)}\,d\lambda
e fazemos
\lambda=\frac{hc}{kT\,x},
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\,d\lambda=-\frac{hc}{kT}\,x^{-2}dx.
Substituindo em \lambda^{-5}d\lambda obtemos
\displaystyle\lambda^{-5}d\lambda=-\frac{(kT)^4}{(hc)^4}\,x^3\,dx.

Passo 3

Ao inserir essa expressão em I(T), o sinal “–” inverte os limites e sobra
I(T)=\frac{2\pi\,(kT)^4}{h^3c^2} \int_0^\infty\frac{x^3\,dx}{e^x-1}\,.
Usando
\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^3\,dx}{e^x-1}=\frac{\pi^4}{15}
chegamos a
I(T)=\frac{2\pi^5k^4}{15\,h^3c^2}\,T^4
e, assim, identificamos
\sigma=\frac{2\pi^5k^4}{15\,h^3c^2}\,.

Passo 4

Para achar o valor numérico de \sigma, usamos
k=1{,}381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K},\quad h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s},\quad c=2{,}998\times10^8\,\mathrm{m/s}.
Fazendo as contas (em ordem de grandeza) obtemos
\sigma\approx5,67\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\,K^4)}.

Resposta

I(T)=\left(\frac{2\pi^5k^4}{15\,h^3c^2}\right)\,T^4=\sigma\,T^4 \quad\text{com}\quad \sigma=5{,}67\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\,K^4)}\,.

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