Considere o plano cartesiano com origem O.
Defina o que é um vetor no plano, destacando origem, extremidade e sentido.

Passo 1

O enunciado pede: definir o que é um vetor no plano, destacando a origem, a extremidade e o sentido. As informações fornecidas são:
  • O plano cartesiano com origem O.
  • Há uma figura que mostra um segmento com uma seta, rotulado \vec{v}; a figura também tem pontos marcados com as letras A e B e a indicação da “origem”.
    (Peguei essas informações da imagem fornecida.)

Passo 2

Definição informal e ideia chave.
Um vetor no plano é um segmento orientado — isto é, um segmento de reta com uma seta indicando direção — que descreve uma “deslocação” do ponto inicial para o ponto final. Três termos importantes:
  • Origem (ou extremidade inicial): o ponto onde o segmento começa (também chamado de “cauda” do vetor). É o ponto de partida do deslocamento.
  • Extremidade (ou extremidade final): o ponto onde o segmento termina, marcado pela ponta da seta (também chamado de “cabeça” do vetor).
  • Sentido: a direção apontada pela seta, que indica para onde o vetor “vai” a partir da origem até a extremidade.
    Além disso, o vetor tem comprimento (módulo), que mede o tamanho do deslocamento.

Passo 3

Representação algébrica no plano cartesiano.
Se a origem (inicial) do vetor for o ponto A=(x_1,y_1) e a extremidade (final) for o ponto B=(x_2,y_2), então o vetor que vai de A a B é escrito como \overrightarrow{AB} ou \vec{v} e seus componentes são
\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1).
Explicando cada símbolo:
  • x_1,y_1 são as coordenadas do ponto de origem A.
  • x_2,y_2 são as coordenadas do ponto de extremidade B.
  • O par (x_2-x_1,\;y_2-y_1) é um vetor em coordenadas, isto é, as componentes horizontal e vertical do deslocamento.
Se a origem do sistema de coordenadas é O=(0,0) e o vetor parte de O, então ele é chamado vetor posição e suas componentes são simplesmente as coordenadas do ponto final: \overrightarrow{OB}=(x_B,y_B).

Passo 4

Cálculo do módulo (comprimento) do vetor — aula prática.
Para \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1), constrói-se um triângulo retângulo cujos catetos valem |x_2-x_1| e |y_2-y_1|. Pelo Teorema de Pitágoras:
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Isto dá a medida do comprimento do segmento orientado (ignore a seta para medir apenas a distância).

Passo 5

Como descrever o sentido (direção) matematicamente.
Duas formas práticas:
  • Vetor unitário na direção de \overrightarrow{AB}:
\hat{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}=\left(\frac{x_2-x_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}},\;\frac{y_2-y_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\right).
Este vetor tem módulo 1 e aponta exatamente no mesmo sentido do vetor original.
  • Ângulo que o vetor faz com o eixo x:
\theta=\operatorname{atan2}(y_2-y_1,\;x_2-x_1),
onde \operatorname{atan2} retorna o ângulo no quadrante correto (é mais robusto que a simples \arctan quando o vetor pode estar em qualquer quadrante).
Observação prática: a inclinação (coeficiente angular) é m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} quando x_2\ne x_1, mas isto não informa o quadrante; por isso \operatorname{atan2} é preferível para obter o sentido completo.

Passo 6

Exemplo numérico (para ver tudo junto — faça assim numa prova).
Suponha que o vetor parte de A=(1,1) e vai até B=(4,3). Então:
  • Componentes: \overrightarrow{AB}=(4-1,\;3-1)=(3,\;2).
  • Módulo: \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}.
  • Vetor unitário (direção): \hat{u}=\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}},\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right).
  • Ângulo com o eixo x: \theta=\operatorname{atan2}(2,3) (um número entre -\pi e \pi que indica o sentido).
Esses passos mostram exatamente como identificar origem, extremidade e sentido e como traduzi-los em números — o que você precisa saber para resolver questões em prova. Força, dá pra dominar isso rapidinho!

Resposta

Um vetor no plano é um segmento orientado (segmento de reta com uma seta) que representa um deslocamento entre um ponto de origem (a extremidade inicial, ou “cauda”) e um ponto de extremidade (a extremidade final, ou “cabeça”); o sentido do vetor é a direção indicada pela seta (da origem para a extremidade). Matematicamente, se a origem é A=(x_1,y_1) e a extremidade é B=(x_2,y_2), então o vetor é \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1), seu módulo é \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} e a sua direção pode ser dada pelo vetor unitário \dfrac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|} ou pelo ângulo \theta=\operatorname{atan2}(y_2-y_1,\;x_2-x_1).

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