Considere o plano cartesiano com origem O.
Desenhe conceitualmente o vetor nulo \overrightarrow{0} e explique por que seu módulo é zero.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Desenhar conceitualmente o vetor nulo \overrightarrow{0} no plano com origem O.
  • Explicar por que o módulo (comprimento) desse vetor é zero.
Informações dadas / observações da figura (peguei estas informações da imagem enviada):
  • Há um plano cartesiano com uma grade e a marcação da origem O.
  • A imagem mostra um vetor \vec{v} saindo de uma região próxima à origem e apontando para um ponto B.
  • Existem também pontos marcados A e a palavra “origem” perto de um ponto interior.
    (Observação: esses elementos servem só para situar o desenho; o vetor que precisamos desenhar é o vetor nulo na origem.)

Passo 2

O que é um vetor no plano (definição e ideia de módulo)
  • Um vetor no plano é normalmente representado por uma seta que tem uma cauda (ponto inicial) e uma cabeça (ponto final). Essa seta descreve deslocamento, direção e sentido.
  • O módulo (ou comprimento) de um vetor \vec{u} é a distância entre a cauda e a cabeça. Denotamos o módulo por \|\vec{u}\|.
  • Se um vetor \vec{u} tiver coordenadas \vec{u}=(x,y) (no sistema de eixos x- y), então o módulo é dado por:
\|\vec{u}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Expliquei isso porque vamos usar justamente o fato “módulo = distância entre cauda e cabeça” para justificar por que o módulo do vetor nulo é zero.

Passo 3

Definição do vetor nulo \overrightarrow{0}
  • O vetor nulo é o vetor cujo ponto inicial e ponto final coincidem — isto é, não há deslocamento.
  • Em notação de pontos, é o vetor que vai de um ponto qualquer P até o mesmo ponto P; por exemplo, na origem escrevemos \overrightarrow{0}=\overrightarrow{OO}.
  • Em coordenadas, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0).

Passo 4

Como desenhar conceitualmente o vetor nulo no plano (passo a passo prático)
  • Vá até a origem marcada O no plano.
  • Desenhe a representação do vetor nulo de uma destas formas equivalentes (escolha a que preferir):
    • Um pequeno ponto (ou círculo preenchido) em O rotulado por \overrightarrow{0} ou \vec{0}. Isso indica que a seta tem comprimento zero.
    • Ou desenhe uma “seta degenerada”: uma seta cuja cauda e cabeça coincidem em O (na prática parece um ponto com uma pequena marca de cabeça).
    • Opcionalmente escreva ao lado: \overrightarrow{0}=\overrightarrow{OO}=(0,0).
  • Observação intuitiva e amigável: desenhar uma flecha de tamanho zero é equivalente a marcar um ponto na origem e dizer “este é o vetor que não desloca nada”.

Passo 5

Cálculo do módulo do vetor nulo usando coordenadas
  • Como visto, em coordenadas \overrightarrow{0}=(0,0).
  • Aplicando a fórmula do módulo:
\|\overrightarrow{0}\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}}=\sqrt{0}=0.
  • Interpretando geometricamente: a distância entre a cauda e a cabeça é zero porque são o mesmo ponto, logo o comprimento é zero.

Passo 6

Intuição adicional e propriedades úteis (para fixar na prova)
  • Intuitivamente: o módulo mede “quanto eu me afastei” do ponto inicial ao ponto final. Se não há afastamento, o número que mede esse afastamento é zero.
  • Propriedades que mostram a função especial do vetor nulo:
    • É único: existe apenas um vetor com módulo zero (em um espaço vetorial padrão).
    • É elemento neutro da adição vetorial:
    \vec{v}+\overrightarrow{0}=\vec{v}\quad\text{para todo vetor }\vec{v}.
    • Escalar zero anula qualquer vetor:
    0\cdot\vec{v}=\overrightarrow{0}.
  • Exemplo rápido para comparar: se \vec{a}=(3,4) então \|\vec{a}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5. Já \overrightarrow{0}=(0,0) tem comprimento 0. Isso ajuda a sentir a diferença entre “vetor com comprimento” e “vetor sem comprimento”.

Passo 7

Síntese final (como apresentar na prova/na folha)
  • Desenhe na origem O um ponto rotulado \overrightarrow{0} (ou uma seta degenerada \overrightarrow{OO}).
  • Justifique com uma frase curta: “O módulo do vetor nulo é zero porque a distância entre cauda e cabeça é zero; em coordenadas \overrightarrow{0}=(0,0) e \|\overrightarrow{0}\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0.”
  • Isso é suficiente e rigoroso para a maioria das questões de prova.

Resposta

O vetor nulo pode ser representado em O como \overrightarrow{0}=\overrightarrow{OO}=(0,0) (desenhado como um ponto ou uma seta de comprimento zero na origem) e seu módulo é \|\overrightarrow{0}\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0.

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