2.8 Um tanque contém 0,50 \mathrm{~m} de água e 1,20 \mathrm{~m} de óleo cuja densidade relativa é 0,80 . Calcular a pressão no fundo do tanque e num ponto do líquido situado na interface entre os dois líquidos. Expressar os resultados nos sistemas técnico e internacional.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Altura da água: h_{\text{água}}=0,50\\ \text{m}á.
  • Altura do óleo sobre a água: h_{\text{óleo}}=1,20\\ \text{m}ó.
  • Densidade relativa do óleo: d_{\text{óleo}}=0,80ó (isto é, a densidade do óleo é 0{,}80 vezes a da água).
    O que o enunciado pede:
  • Calcular a pressão no fundo do tanque (ponto na base, abaixo da água).
  • Calcular a pressão num ponto do líquido situado na interface entre os dois líquidos (isto é, na superfície de contato óleo–água).
  • Expressar os resultados nos sistemas técnico e internacional.

Passo 2

Entendendo a física e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • A equação básica da hidrostática para um fluido em repouso, com superfície livre à pressão atmosférica p_{\text{atm}}, é:
p = p_{\text{atm}} + \rho\,g\,h,
onde:
  • p é a pressão absoluta num ponto a uma profundidade h abaixo da superfície livre (ou abaixo de uma interface, conforme o caso);
  • p_{\text{atm}} é a pressão atmosférica (se quisermos a pressão absoluta). Se quisermos a pressão relativa (ou “sobrerpressão” em relação à atmosfera), usamos apenas p_{\text{rel}}=\rho g h;
  • \rho é a densidade do fluido acima do ponto considerado (em \text{kg/m}^3);
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}81\\ \text{m/s}^2);
  • h é a altura (espessura) da coluna de fluido sobre o ponto (em \text{m}).
  • No nosso problema há duas camadas: óleo sobre a água. Logo:
    • Para a pressão na interface (na região logo abaixo da interface, ou seja, dentro da água mas no mesmo nível da interface) a coluna acima é só óleo de altura h_{\text{óleo}}ó.
    • Para a pressão no fundo a coluna acima é óleo + água, com alturas h_{\text{óleo}}ó e h_{\text{água}}á.
  • Conversão de densidade relativa para densidade absoluta:
\rho_{\text{óleo}} = d_{\text{óleo}}\cdot\rho_{\text{água}}.óóá
Usamos \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg/m}^3á (valor padrão).
  • Conversão entre unidades (Sistema Internacional e Sistema Técnico):
    • 1\\ \text{Pa}=1\\ \text{N/m}^2 (SI).
    • No sistema técnico de forças (onde a força é medida em kilograma‑força, \text{kgf}), a unidade prática de pressão é \text{kgf/cm}^2. A relação é:
1\\ \text{kgf}=9{,}80665\\ \text{N},\qquad 1\\ \text{cm}^2=10^{-4}\\ \text{m}^2,
portanto
1\\ \text{kgf/cm}^2=\frac{9{,}80665\\ \text{N}}{10^{-4}\\ \text{m}^2}=98066{,}5\\ \text{Pa}.
Logo, para converter de \text{Pa} para \text{kgf/cm}^2 dividimos por 98066{,}5.

Passo 3

Calcular densidades e pressões relativas (passo a passo, sem pressa).
  • Densidade do óleo:
\rho_{\text{óleo}} = 0{,}80\cdot 1000\\ \text{kg/m}^3 = 800\\ \text{kg/m}^3.ó
  • Pressão relativa (excesso sobre a atmosfera) causada pelas colunas:
    • Excesso devido ao óleo (altura 1{,}20\\ \text{m}):
    p_{\text{óleo, rel}}=\rho_{\text{óleo}}\,g\,h_{\text{óleo}}=800\cdot 9{,}81\cdot 1{,}20.óóóVamos calcular: 9{,}81\cdot 1{,}20 = 11{,}772,
p_{\text{óleo, rel}} = 800\cdot 11{,}772 = 9417{,}6\\ \text{Pa}.ó
  • Excesso devido à água (altura 0{,}50\\ \text{m}):
p_{\text{água, rel}}=\rho_{\text{água}}\,g\,h_{\text{água}}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}50.ááá
9{,}81\cdot 0{,}50 = 4{,}905,
p_{\text{água, rel}} = 1000\cdot 4{,}905 = 4905\\ \text{Pa}.á
  • Excesso total no fundo (óleo + água):
p_{\text{fundo, rel}} = p_{\text{óleo, rel}} + p_{\text{água, rel}} = 9417{,}6 + 4905 = 14322{,}6\\ \text{Pa}.óá

Passo 4

Passar para pressões absolutas (somando a pressão atmosférica) e converter unidades.
  • Tomando a pressão atmosférica padrão:
p_{\text{atm}} = 101325\\ \text{Pa}.
  • Pressão absoluta na interface (ou seja, imediatamente abaixo da interface, dentro da água):
p_{\text{interface, abs}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{óleo, rel}} = 101325 + 9417{,}6 = 110742{,}6\\ \text{Pa}.ó
  • Pressão absoluta no fundo:
p_{\text{fundo, abs}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{fundo, rel}} = 101325 + 14322{,}6 = 115647{,}6\\ \text{Pa}.
  • Agora convertemos para kPa para leitura mais prática:
    • p_{\text{óleo, rel}} = 9417{,}6\\ \text{Pa} = 9{,}418\\ \text{kPa}.ó
    • p_{\text{fundo, rel}} = 14322{,}6\\ \text{Pa} = 14{,}323\\ \text{kPa}.
    • p_{\text{interface, abs}} = 110742{,}6\\ \text{Pa} = 110{,}743\\ \text{kPa}.
    • p_{\text{fundo, abs}} = 115647{,}6\\ \text{Pa} = 115{,}648\\ \text{kPa}.
  • Converter para o sistema técnico ( \text{kgf/cm}^2) dividindo por 98066{,}5\\ \text{Pa}:
    • Excesso na interface:
    p_{\text{óleo, rel}} = \frac{9417{,}6}{98066{,}5}=0{,}09603\\ \text{kgf/cm}^2\approx 0{,}0960\\ \text{kgf/cm}^2.ó
    • Excesso no fundo:
    p_{\text{fundo, rel}} = \frac{14322{,}6}{98066{,}5}=0{,}14599\\ \text{kgf/cm}^2\approx 0{,}1460\\ \text{kgf/cm}^2.
    • Interface absoluta:
    p_{\text{interface, abs}}=\frac{110742{,}6}{98066{,}5}=1{,}1296\\ \text{kgf/cm}^2\approx 1{,}130\\ \text{kgf/cm}^2.
    • Fundo absoluto:
    p_{\text{fundo, abs}}=\frac{115647{,}6}{98066{,}5}=1{,}1796\\ \text{kgf/cm}^2\approx 1{,}180\\ \text{kgf/cm}^2.

Passo 5

Resumo interpretativo (pra você fixar na prova — o que cada número significa):
  • A pressão “no ponto situado na interface” tem como contribuição apenas a coluna de óleo acima dele; se quiser o valor absoluto some p_{\text{atm}}, se quiser o valor relativo (sobrerpressão) use só \rho g h.
  • A pressão no fundo soma as duas colunas (óleo + água).
  • Cálculos numéricos rápidos foram feitos com g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 e \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg/m}^3á. Sempre faça assim na prova se não derem valores diferentes.

Resposta

Pressão na interface (imediatamente abaixo da superfície óleo–água):
p_{\text{interface, rel}}=9417{,}6\\ \text{Pa}=9{,}418\\ \text{kPa}=0{,}0960\\ \text{kgf/cm}^2 (excesso sobre a atmosfera);
p_{\text{interface, abs}}=110742{,}6\\ \text{Pa}=110{,}743\\ \text{kPa}=1{,}130\\ \text{kgf/cm}^2.
Pressão no fundo do tanque:
p_{\text{fundo, rel}}=14322{,}6\\ \text{Pa}=14{,}323\\ \text{kPa}=0{,}1460\\ \text{kgf/cm}^2 (excesso sobre a atmosfera);
p_{\text{fundo, abs}}=115647{,}6\\ \text{Pa}=115{,}648\\ \text{kPa}=1{,}180\\ \text{kgf/cm}^2.

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