Considere
um plano condutor e o problema de calcular a carga induzida neste plano devido a uma carga
em
. Sendo condutor, o que se espera é que a carga induzida seja
. Surpreendentemente, esse cálculo pode ser feito por meio do campo
correspondente à carga
e a outra carga virtual
em
. Nesse caso, a densidade de carga no plano é
, onde
é a componente vertical de
.
a) Expresse
em termos de
e
.
b) Obtenha a expressão da carga
contida no disco
, de centro em
e raio
.
c) Calcule o valor de
.
d) Calcule agora o limite
, igual à carga total induzida no plano.
e) Verifique se
tem o valor esperado sabendo que
.
a) Expresse
b) Obtenha a expressão da carga
c) Calcule o valor de
d) Calcule agora o limite
e) Verifique se
Passo 1
O enunciado trata do plano condutor
em
com carga
em
. Pelo método das imagens, introduzimos uma carga fictícia
em
. A densidade de carga induzida no plano é
onde
é a componente
do campo total
Vamos achar (a)
, (b) a expressão integral de
, (c) a forma fechada de
, (d) o limite
e (e) verificar que
quando
.
Passo 2
Para
temos
Assim as componentes
são
Logo
Passo 3
A carga total no disco de raio
é
Em coordenadas polares
e
, dá
Passo 4
Calculemos o integral radial
Fazendo
,
, obtém-se
Passo 5
Substituindo em
:
Como
, segue
Passo 6
O limite quando
é
Passo 7
Finalmente, usando
, confirmamos que a carga total induzida é
como esperado para um condutor.
Resposta
(a)
.
(b)
(c)
(d)
(e) Usando obtemos realmente
, conforme esperado.
(b)
(c)
(d)
(e) Usando