Considere O x y um plano condutor e o problema de calcular a carga induzida neste plano devido a uma carga q0 em P1=(0,0, h). Sendo condutor, o que se espera é que a carga induzida seja -q0. Surpreendentemente, esse cálculo pode ser feito por meio do campo
E(P)=q0 k|P-P1|^2 P-P1|P-P1|+-q0 k|P-P2|^2 P-P2|P-P2|,
correspondente à carga q0 e a outra carga virtual -q0 em P2=(0,0,-h). Nesse caso, a densidade de carga no plano é de<a(x, y)=varepsilon Ev(x, y, 0), onde Ev(x, y, 0) é a componente vertical de E(x, y, 0).
a) Expresse Ev(x, y, 0) em termos de x e y.
b) Obtenha a expressão da carga q(R) contida no disco B(O, R) subset O x y, de centro em O e raio R.
c) Calcule o valor de q(R).
d) Calcule agora o limite lim R infty q(R)=qinfty, igual à carga total induzida no plano.
e) Verifique se qinfty tem o valor esperado sabendo que k=14 pi varepsilon.

Passo 1

O enunciado trata do plano condutor Oxy em z=0 com carga q0 em P1=(0,0,h). Pelo método das imagens, introduzimos uma carga fictícia -q0 em P2=(0,0,-h). A densidade de carga induzida no plano é
de<a(x,y)=varepsilon,Ev(x,y,0),
onde Ev é a componente z do campo total
E(P)=k,q0P-P1|P-P1|^3+k,(-q0)P-P2|P-P2|^3
Vamos achar (a) Ev(x,y,0), (b) a expressão integral de q(R), (c) a forma fechada de q(R), (d) o limite qinfty e (e) verificar que qinfty=-q0 quando k=1/(4pivarepsilon).

Passo 2

Para P=(x,y,0) temos
P-P1=(x,y,-h), |P-P1|^2=x^2+y^2+h^2,
P-P2=(x,y,h), |P-P2|^2=x^2+y^2+h^2
Assim as componentes z são
E1z = k,q0,-h(x^2+y^2+h^2)^3/2, E2z = k,(-q0),h(x^2+y^2+h^2)^3/2
Logo
Ev(x,y,0)=E1z+E2z =-2,k,q0,hl(x^2+y^2+h^2r)^3/2

Passo 3

A carga total no disco de raio R é
q(R)=integral duplaB( O,R)de<a(x,y),dA =varepsilonintegral duplar<= REv(r,0),dA
Em coordenadas polares ,dA=r,dr,dtheta e r^2=x^2+y^2, dá
q(R) =varepsilonintegral0^2pi!!integral0^R! l[-2,k,q0,h(r^2+h^2)^3/2r],r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos o integral radial
I=integral0^Rr(r^2+h^2)^3/2,dr
Fazendo u=r^2+h^2, du=2r,dr, obtém-se
I=integralu=h^2^u=R^2+h^2!u^-3/2,du2 =l[-u^-1/2r]h^2^R^2+h^2 =1h-1raizR^2+h^2

Passo 5

Substituindo em q(R):
q(R) =varepsilon,(2pi),l[-2,k,q0,hr];I =varepsilon,4pi,k,q0,hl(1raizR^2+h^2-1hr)
Como varepsilon,k=1/(4pi), segue
q(R) =q0l(hraizR^2+h^2-1r)

Passo 6

O limite quando Rtoinfty é
qinfty=limRtoinftyq(R) =q0l(0-1r) =-,q0

Passo 7

Finalmente, usando k=1/(4pivarepsilon), confirmamos que a carga total induzida é
qinfty=-q0,
como esperado para um condutor.

Resposta

(a) Ev(x,y,0)=-2,k,q0,dfrachl(x^2+y^2+h^2r)^3/2.
(b) q(R)=varepsilon!integral0^2pi!!integral0^REv(r,0),r,dr,dtheta
(c) q(R)=q0l(hraizR^2+h^2-1r)
(d) qinfty=limRtoinftyq(R)=-q0
(e) Usando k=1/(4pivarepsilon) obtemos realmente qinfty=-q0, conforme esperado.

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