Considere o plano dado por \pi: z=k, onde k é uma constante real, e um elipsoide de equação:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
Quais são os valores de k para quais a intersecção da elipse com o plano é uma elipse com excentricidade \frac{\sqrt{5}}{3} ?

Passo 1

O enunciado dá um elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
e o plano \pi: z=k. A intersecção é uma curva no plano z=k, que é uma elipse sempre que |k|<c. Para encontrar sua excentricidade, vamos:
  1. Obter a equação dessa elipse no plano.
  2. Identificar seus semi-eixos maiores e menores.
  3. Calcular a excentricidade e impor e=\tfrac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 2

Tomando z=k na equação do elipsoide temos
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{k^{2}}{c^{2}}=1
ou seja
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1-\frac{k^{2}}{c^{2}}.
Se |k|<c, definimos
\lambda =1-\frac{k^{2}}{c^{2}}>0
e escrevemos em forma padrão
\frac{x^{2}}{a^{2}\,\lambda}+\frac{y^{2}}{b^{2}\,\lambda}=1.

Passo 3

Da forma padrão deduzimos os semi-eixos:
A = a\,\sqrt{\lambda}, \qquad B = b\,\sqrt{\lambda},
assumindo a\ge b. A excentricidade vale
e = \sqrt{1-\frac{B^{2}}{A^{2}}} = \sqrt{1-\frac{b^{2}\,\lambda}{a^{2}\,\lambda}} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\,.
Perceba que \lambda (e logo k) cancela, isto é, todas as secções paralelas a xy têm a mesma excentricidade.

Passo 4

Impondo
e=\frac{\sqrt{5}}{3}
temos
\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{3} \quad\Longrightarrow\quad 1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9} \quad\Longrightarrow\quad \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4}{9} \quad\Longrightarrow\quad \frac{b}{a}=\frac{2}{3}.
Logo, se b/a=2/3 a excentricidade for \sqrt{5}/3.

Passo 5

Se b/a=2/3, então toda intersecção com \pi: z=k (para |k|<c) é uma elipse de excentricidade \sqrt{5}/3. Se b/a\neq2/3, não existe valor de k que torne a secção de excentricidade \sqrt{5}/3.

Resposta

Não há valores específicos de k além da condição |k|<c. A excentricidade só será \frac{\sqrt{5}}{3} se e somente se
\frac{b}{a}=\frac{2}{3},
e neste caso para todo k com \lvert k\rvert<c. Caso contrário, não existe k com essa propriedade.

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