Considere o plano dado por
, onde
é uma constante real, e um elipsoide de equação:
Quais são os valores de
para quais a intersecção da elipse com o plano é uma elipse com excentricidade
?
Passo 1
O enunciado dá um elipsoide
e o plano
. A intersecção é uma curva no plano
, que é uma elipse sempre que
. Para encontrar sua excentricidade, vamos:
- Obter a equação dessa elipse no plano.
- Identificar seus semi-eixos maiores e menores.
- Calcular a excentricidade e impor
.
Passo 2
Tomando
na equação do elipsoide temos
ou seja
Se
, definimos
e escrevemos em forma padrão
Passo 3
Da forma padrão deduzimos os semi-eixos:
assumindo
. A excentricidade vale
Perceba que
(e logo
) cancela, isto é, todas as secções paralelas a
têm a mesma excentricidade.
Passo 4
Impondo
temos
Logo, só se
a excentricidade for
.
Passo 5
Se
, então toda intersecção com
(para
) é uma elipse de excentricidade
. Se
, não existe valor de
que torne a secção de excentricidade
.
Resposta
Não há valores específicos de
além da condição
. A excentricidade só será
se e somente se
e neste caso para todo
com
. Caso contrário, não existe
com essa propriedade.