1. Mostre que o plano \pi: 2 x-2 y+z+5=0 é exterior à esfera S : x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+6 y+2 z+5=0 e calcule a distância entre eles.

Passo 1

O enunciado dá o plano
\pi:2x-2y+z+5=0
e a esfera
S:x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+6y+2z+5=0.
O conteúdo é geometria no espaço: vamos (1) reescrever a esfera na forma canônica para obter centro e raio; (2) usar a fórmula da distância de um ponto a um plano; (3) comparar essa distância com o raio para concluir que não há interseção (plano exterior); (4) calcular a distância entre o plano e a superfície da esfera.

Passo 2

Completo os quadrados em x, y e z na equação de S:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,\quad y^{2}+6y=(y+3)^{2}-9,\quad z^{2}+2z=(z+1)^{2}-1.
Substituindo em S:
(x-2)^{2}-4+(y+3)^{2}-9+(z+1)^{2}-1+5=0
\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z+1)^{2}=9.
Logo o centro é C=(2,-3,-1) e o raio é R=3.

Passo 3

A distância de C ao plano \pi é
d=\frac{\bigl|2\cdot2-2\cdot(-3)+1\cdot(-1)+5\bigr|}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}} =\frac{|4+6-1+5|}{\sqrt{4+4+1}} =\frac{14}{3}.

Passo 4

Como
d=\frac{14}{3}\approx4,67>R=3,
o plano não intersecta a esfera, isto é, \pi é exterior a S.

Passo 5

A distância entre o plano e a superfície da esfera é
d_{\text{entre}}=d-R=\frac{14}{3}-3=\frac{5}{3}.

Resposta

O plano \pi é exterior à esfera S e a distância entre eles é \displaystyle \frac{5}{3}.

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