Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam das retas r e s, onde
r: X=(-7,0,1)+\lambda(1,0,0) \quad \text { e } \quad s: X=(0,3,0)+\mu(0,0,1), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}
Identifique a quádrica descrita por esse lugar geométrico.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) que equidistam das retas
r:\;X=(-7,0,1)+\lambda(1,0,0)
e
s:\;X=(0,3,0)+\mu(0,0,1).
O conteúdo principal é usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3, que pode ser expressa com produto vetorial:
d(P,\text{reta})=\frac{\bigl\|(P-A)\times v\bigr\|}{\|v\|},
onde A é um ponto qualquer da reta e v seu vetor diretor.

Passo 2

Para a reta r, tomo A=(-7,0,1) e v=(1,0,0). Então
P-A=(x+7,\;y,\;z-1),
(P-A)\times v =(x+7,y,z-1)\times(1,0,0) =(0,\;z-1,\;-y).
Como \|v\|=1, a distância ao quadrado é
d_r^2=y^2+(z-1)^2.

Passo 3

Para a reta s, tomo B=(0,3,0) e u=(0,0,1). Então
P-B=(x,\;y-3,\;z),
(P-B)\times u =(x,y-3,z)\times(0,0,1) =(y-3,\;-x,\;0).
Como \|u\|=1, a distância ao quadrado é
d_s^2=x^2+(y-3)^2.

Passo 4

Equidistância implica
d_r^2=d_s^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2+(z-1)^2 = x^2+(y-3)^2.
Expandindo e simplificando obtemos
y^2+z^2-2z+1 = x^2+y^2-6y+9 \quad\Longrightarrow\quad x^2-(z-1)^2-6y+9=0.

Passo 5

A equação
x^2-(z-1)^2-6y+9=0
é do tipo “duas variáveis ao quadrado com sinais opostos e a terceira variável aparece só em grau 1”. Isso caracteriza uma paraboloide hiperbólico (sela).

Resposta

A equação do lugar geométrico é
x^2-(z-1)^2-6y+9=0,
que descreve uma paraboloide hiperbólico.

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