1. Dada a esfera S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-6 y+8 z+20=0, determine a equação do plano tangente a S no ponto P=(1,3,-3).

Passo 1

O enunciado dá a esfera
S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x-6y+8z+20=0
e pede a equação do plano tangente a S no ponto P=(1,3,-3).
Conteúdo: superfícies definidas implicitamente e cálculo de plano tangente via gradiente.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x-6y+8z+20,
de modo que S é o nível F(x,y,z)=0. Em geometria analítica, o vetor normal à superfície F=0 em P é dado por \nabla F(P).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente:
\nabla F(x,y,z) =\bigl(\partial_xF,\partial_yF,\partial_zF\bigr) =(2x-4,\;2y-6,\;2z+8).

Passo 4

Avaliamo-lo em P=(1,3,-3):
\nabla F(1,3,-3) = (2 \cdot 1 - 4,\; 2 \cdot 3 - 6,\; 2 \cdot (-3) + 8) = (-2,\; 0,\; 2).
Logo, um vetor normal ao plano tangente é \mathbf{n} = (-2,0,2).

Passo 5

A equação do plano tangente em P usa \mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0:
-2(x-1)+0(y-3)+2\bigl(z-(-3)\bigr)=0
-2x+2+2z+6=0
-2x+2z+8=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x - z =4.

Resposta

A equação do plano tangente é
x - z = 4.

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