Determine a equação do plano beta que passa pelo ponto (1,4,1) e que é paralelo às retas de equações
l x = 1 - t y = 2 + 2 t z = - t e lll x & = & -s y & = & 2+s z & = & 3
em que t e s são parâmetros reais.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano beta que passa pelo ponto (1,4,1) e é paralelo a duas retas. O conteúdo aqui é geometria vetorial no espaço: para achar a equação do plano, vamos precisar
  1. extrair os vetores diretores de cada reta,
  2. calcular um vetor normal ao plano como produto vetorial desses diretores,
  3. usar a forma vetorial ou cartesiana do plano com um ponto conhecido e o vetor normal.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das retas dadas.
Da reta
vemos que um parâmetro
Da reta
vemos que um parâmetro (s] gera o vetor

Passo 3

Um vetor normal vec n ao plano é perpendicular a ambos vec v1 e vec v2, então podemos usar o produto vetorial:
vec n = vec v1 times vec v2 = i & j & k -1 & 2 & -1 -1 & 1 & 0 = (1,;1,;1)

Passo 4

A forma vetorial do plano usando o ponto P0=(1,4,1) e o normal vec n=(1,1,1) é
vec ncdotl((x,y,z)-(1,4,1)r)=0
Isso expande para
1,(x-1)+1,(y-4)+1,(z-1)=0
ou, reorganizando,
x+y+z-6=0

Resposta

A equação do plano beta é
boxedx+y+z=6

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