Seja T: R^n R^m uma transformação linear. Mostre que T é injetiva se, e somente se, a imagem de todo conjunto de vetores linearmente independente é um conjunto de vetores linearmente independente.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear TcolonR^ntoR^m e pede para mostrar que
T é injetiva Long<=ftrightarrow para todo conjunto linearmente independente S, ;T(S) é linearmente independente éé
Vamos usar a definição de injetividade ( ker T=0) e a definição de independência linear, além da propriedade de linearidade de T, que diz que
Tl(sumi ai vir) =sumi ai,T(vi)

Passo 2

(Prova da direção “ Rightarrow”) Suponha que T seja injetiva e seja
v1,dots,vksubsetR^n um conjunto linearmente independente.
Considere uma combinação linear qualquer dos vetores imagem que dê zero:
a1,T(v1)+cdots+ak,T(vk)=0
Pela linearidade de T,
Tl(a1 v1+cdots+ak vkr)=0
Como T é injetiva, seu núcleo é trivial, então
a1 v1+cdots+ak vk=0 Longrightarrow a1=cdots=ak=0
pela independência de v1,dots,vk. Logo T(v1),dots,T(vk) é linearmente independente.

Passo 3

(Prova da direção “ Leftarrow”) Suponha que toda imagem de conjunto independente seja independente. Para ver que T é injetiva, mostre que ker T=0. Se T não fosse injetiva, existiria vneq0 com T(v)=0. Mas v é linearmente independente e sua imagem é T(v)=0, que é dependente. Isso contradiz a hipótese. Portanto não pode haver tal vneq0, e assim ker T=0, ou seja, T é injetiva.

Resposta

Mostramos as duas implicações, logo T é injetiva se, e somente se, leva todo conjunto linearmente independente a um conjunto linearmente independente.

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