Seja
uma transformação linear. Mostre que
é injetiva se, e somente se, a imagem de todo conjunto de vetores linearmente independente é um conjunto de vetores linearmente independente.
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
e pede para mostrar que
Vamos usar a definição de injetividade (
) e a definição de independência linear, além da propriedade de linearidade de
, que diz que
Passo 2
(Prova da direção “
”) Suponha que
seja injetiva e seja
um conjunto linearmente independente.
Considere uma combinação linear qualquer dos vetores imagem que dê zero:
Considere uma combinação linear qualquer dos vetores imagem que dê zero:
Pela linearidade de
,
Como
é injetiva, seu núcleo é trivial, então
pela independência de
. Logo
é linearmente independente.
Passo 3
(Prova da direção “
”) Suponha que toda imagem de conjunto independente seja independente. Para ver que
é injetiva, mostre que
. Se
não fosse injetiva, existiria
com
. Mas
é linearmente independente e sua imagem é
, que é dependente. Isso contradiz a hipótese. Portanto não pode haver tal
, e assim
, ou seja,
é injetiva.
Resposta
Mostramos as duas implicações, logo
é injetiva se, e somente se, leva todo conjunto linearmente independente a um conjunto linearmente independente.