Considere o plano pi: x+y-z=0. Encontre
Uma base ortonormal do R^3 que contenha um vetor unitário e ortogonal ao plano pi

Passo 1

O enunciado dá o plano
pi: x + y - z = 0
e pede uma base ortonormal de R^3 que contenha um vetor unitário ortogonal a pi.
Conteúdo: produto escalar, norma em R^3 e processo de Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais.

Passo 2

Um vetor normal a pi é
n = (1,1,-1),
pois seus coeficientes são os do plano x+y-z=0. A norma de n é
|n| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz3
Logo, o vetor unitário normal é
e3 = n|n| = 1raiz3(1,1,-1)

Passo 3

Escolhemos dois vetores quaisquer em pi. Por exemplo,
v1 = (1,-1,0), v2 = (1,1,2)
Verificamos que ambos satisfazem x+y-z=0:
para v1, 1+(-1)-0=0; para v2, 1+1-2=0.

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt em v1,v2:
  1. Normalizamos v1 para obter
e1 = v1|v1| = 1raiz1^2+(-1)^2+0^2(1,-1,0) = 1raiz2(1,-1,0)
  1. Subtraímos de v2 sua projeção em e1:
proje1(v2) = llang<= v2,e1rrang<=,e1
Calculamos
lang<= v2,e1rang<= = 1cdot1 + 1cdot(-1) + 2cdot0raiz2 = 0,
logo v2 já é ortogonal a e1. Assim, basta normalizá-lo:
e2 = v2|v2| = 1raiz1^2+1^2+2^2(1,1,2) = 1raiz6(1,1,2)

Resposta

Uma base ortonormal de R^3 que contém um vetor unitário ortogonal a pi é
e1 = 1raiz2(1,-1,0), e2 = 1raiz6(1,1,2), e3 = 1raiz3(1,1,-1)

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