Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+z, x-y, y)
Mostre que T é um isomorfismo, e determine:
(a) T^-1(x, y, z).
(b) T^2(x, y, z).
(c) T^-2(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+z,;x-y,;y)
e pede para
  1. mostrar que T é um isomorfismo,
  2. achar T^-1,
  3. calcular T^2 e
  4. calcular T^-2.
    O conteúdo é teoria de transformações lineares em R^n: para provar isomorfismo basta ver que a matriz de T na base canônica é invertível (determinante não nulo) e, a partir daí, compor T e T^-1 para obter as expressões desejadas.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A= 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 ,
pois
T(x,y,z) =l(1cdot x+0cdot y+1cdot z,; 1cdot x+(-1)cdot y+0cdot z,; 0cdot x+1cdot y+0cdot zr)
Calculamos
det A =1cdotdet-1&01&0 -0+;1cdotdet1&-10&1 =1cdot0+1cdot1=1neq0
Logo A é invertível e T é isomorfismo.

Passo 3

Para achar T^-1, resolvemos
T(u,v,w)=(u+w,;u-v,;v)=(x,y,z)
Das igualdades
v=z, u-v=yimplies u=y+z, u+w=ximplies w=x-u=x-y-z
Assim
T^-1(x,y,z)=(u,v,w)=(y+z,;z,;x-y-z)

Passo 4

Para calcular T^2, aplicamos duas vezes:
T(x,y,z)=(x+z,;x-y,;y),
T^2(x,y,z)=Tl(x+z,;x-y,;yr) =l((x+z)+y,;(x+z)-(x-y),;x-yr) =(x+y+z,;y+z,;x-y)

Passo 5

Para T^-2=(T^-1)^2, basta aplicar T^-1 duas vezes sobre (x,y,z). Primeiro
T^-1(x,y,z)=(y+z,;z,;x-y-z)
Chamando isso de (u1,v1,w1), aplicamos de novo:
T^-1(u1,v1,w1)=(v1+w1,;w1,;u1-v1-w1)
Substituindo u1=y+z, v1=z, w1=x-y-z, vem
v1+w1=z+(x-y-z)=x-y,
w1=x-y-z,
u1-v1-w1=(y+z)-z-(x-y-z)=-x+2y+z
Logo
T^-2(x,y,z)=(x-y,;x-y-z,;-x+2y+z)

Resposta

(a) T^-1(x,y,z)=(y+z,;z,;x-y-z)
(b) T^2(x,y,z)=(x+y+z,;y+z,;x-y)
(c) T^-2(x,y,z)=(x-y,;x-y-z,;-x+2y+z)

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