Encontre todos os vetores x in R^4 que são levados no vetor nulo pela transformação x A x, onde
A=[cccc 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 & 2 1 & 2 & 3 & -1 ]

Passo 1

O enunciado pede todos os vetores xinR^4 tais que A x=0, ou seja, o núcleo de
A= 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 & 2 1 & 2 & 3 & -1
Para achar ker(A) vamos montar o sistema linear Ax=0 e usar eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevendo x=(x1,x2,x3,x4)^T, o sistema Ax=0 vira
x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x1 - x2 - x3 + 2x4 = 0, x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 0

Passo 3

Montamos a matriz aumentada e subtraímos a primeira linha das duas últimas:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & 2 & 0 1 & 2 & 3 & -1 & 0 ] ;to; [cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & -2 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & -2 & 0 ]

Passo 4

Trocamos as linhas 2 e 3 e eliminamos colunas acima do pivô:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & -2 & 0 0 & -2 & -2 & 1 & 0 ] ;to; [cccc|c 1 & 0 & -1 & 3 & 0 0 & 1 & 2 & -2 & 0 0 & 0 & 2 & -3 & 0 ]

Passo 5

Dividindo a linha 3 por 2 e eliminando acima, chegamos à forma reduzida
[cccc|c 1 & 0 & 0 & tfrac32 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac32 & 0 ]
Logo
x1=-tfrac32,x4, x2=-x4, x3=tfrac32,x4, x4 é livre é

Passo 6

Para deixar os coeficientes inteiros, tomamos x4=2s. Então
x1=-3s, x2=-2s, x3=3s, x4=2s,
ou seja
x=s,(-3,-2,3,2), sinR

Resposta

ker(A)=,s,(-3,-2,3,2)mid sinR.

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