Sejam U e W são subespaços vetoriais do espaço vetorial V=R^13, dim(U)=8 e dim(W)=7. Determine o menor e o maior valor possível para a:
dim(U+W)

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços U e W de V=R^13 com
dim(U)=8 e dim(W)=7, e pede os valores mínimo e máximo possíveis de dim(U+W). Vamos usar a relação entre dimensões de soma e interseção de subespaços.

Passo 2

A fórmula fundamental (Teorema da dimensão) é
dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(Ucap W)

Passo 3

Precisamos saber os possíveis valores de dim(Ucap W). Em geral vale
dim(Ucap W)>= dim(U)+dim(W)-dim(V) e dim(Ucap W)<= minl(dim(U),dim(W)r)
Aqui dim(U)+dim(W)-dim(V)=8+7-13=2 e min(8,7)=7. Logo
2<= dim(Ucap W)<= 7

Passo 4

Aplicando esses extremos na fórmula da soma:
  • Se dim(Ucap W) for máximo ( 7), dim(U+W)=8+7-7=8
  • Se dim(Ucap W) for mínimo ( 2), dim(U+W)=8+7-2=13

Resposta

O menor valor possível de dim(U+W) é 8 e o maior é 13.

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