Considere o plano pi: x+y-z=0. Encontre
A projeção ortogonal do vetor v=(4,3,2) sobre o plano pi

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do vetor ,v=(4,3,2) sobre o plano pi: x+y-z=0. A ideia é usar que a projeção sobre o plano é o próprio vetor menos sua projeção na direção ortogonal ao plano (isto é, na direção do vetor normal).

Passo 2

Da equação do plano pi: x+y-z=0 identificamos um vetor normal
n = (1,1,-1)

Passo 3

Calculamos os produtos escalares necessários:
vcdot n = 4cdot1 + 3cdot1 + 2cdot(-1) = 5,
ncdot n = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3

Passo 4

A projeção de v na direção de n vale
projn(v) = vcdot nncdot n,n = 53,(1,1,-1) = l(tfrac53,,tfrac53,,-tfrac53r)

Passo 5

Então a projeção ortogonal de v sobre o plano é
vpi = v - projn(v) = (4,3,2) - l(tfrac53,,tfrac53,,-tfrac53r) = l(tfrac73,,tfrac43,,tfrac113r)

Resposta

l(tfrac73, tfrac43, tfrac113r)

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