Considere o plano
de equação geral
e considere a reta
de equação paramétrica
.
(a) Mostre que o plano
e a reta
são concorrentes, calculando explicitamente o ponto
.
(b) Determine a equação paramétrica da reta
contida em
e que é perpendicular a reta
.
(a) Mostre que o plano
(b) Determine a equação paramétrica da reta
Passo 1
O enunciado dá o plano
e a reta
.
Em (a) queremos o ponto , ou seja, a interseção reta-plano.
Em (b) precisamos achar uma reta que fique dentro de
e seja perpendicular a
. Para isso usaremos produto vetorial para obter um vetor-direção de
que seja ortogonal tanto ao vetor normal de
quanto ao vetor de direção de
.
Em (a) queremos o ponto
Em (b) precisamos achar uma reta
Passo 2
Para achar
, substituímos
na equação de :
na equação de
Isso dá
Logo
Passo 3
O vetor normal de
é
e o vetor de direção de
é
.
Um vetor que seja paralelo a
e perpendicular a
satisfaz
e
,
por isso podemos escolher
Um vetor
por isso podemos escolher
Em coordenadas:
Então
, que podemos simplificar dividindo por
para obter
Passo 4
A reta
passa por
e tem direção
. Logo sua forma paramétrica é
Resposta
(a)
(b)
(b)