Considere o plano pi de equação geral x+2 y-4 z=2 e considere a reta r de equação paramétrica (x, y, z)=(3,2,-1)+t(1,-1,2).
(a) Mostre que o plano pi e a reta r são concorrentes, calculando explicitamente o ponto P=pi cap r.
(b) Determine a equação paramétrica da reta s contida em pi e que é perpendicular a reta r.

Passo 1

O enunciado dá o plano pi: x + 2y - 4z = 2 e a reta
r: (x,y,z) = (3,2,-1) + t,(1,-1,2).
Em (a) queremos o ponto P = pi cap r, ou seja, a interseção reta-plano.
Em (b) precisamos achar uma reta s que fique dentro de pi e seja perpendicular a r. Para isso usaremos produto vetorial para obter um vetor-direção de s que seja ortogonal tanto ao vetor normal de pi quanto ao vetor de direção de r.

Passo 2

Para achar P, substituímos
x=3+t,;y=2-t,;z=-1+2t
na equação de pi:
(3+t) + 2(2-t) - 4(-1+2t) ;=;2
Isso dá
3 + t + 4 - 2t + 4 - 8t ;=;2 Longrightarrow 11 - 9t = 2 Longrightarrow t = 1
Logo
P = (3+1,;2-1,;-1+2) = (4,,1,,1)

Passo 3

O vetor normal de pi é vec n=(1,2,-4) e o vetor de direção de r é vec v=(1,-1,2).
Um vetor vec d que seja paralelo a pi e perpendicular a r satisfaz
vec dcdotvec n=0 e vec dcdotvec v=0,
por isso podemos escolher
vec d ;=;vec ntimes vec v
Em coordenadas:
dx = 2cdot2 - (-4)(-1) = 4 - 4 = 0, dy = -l(1cdot2 - (-4)cdot1r) = -6, dz = 1cdot(-1) - 2cdot1 = -3
Então vec d = (0,-6,-3), que podemos simplificar dividindo por -3 para obter
vec d = (0,2,1)

Passo 4

A reta s passa por P=(4,1,1) e tem direção vec d=(0,2,1). Logo sua forma paramétrica é
s:;(x,y,z) = (4,,1,,1) ;+;u,(0,,2,,1)

Resposta

(a) P = (4,1,1)
(b) s:;(x,y,z) = (4,1,1) + u,(0,2,1)

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