Considere o triângulo de vértices A=(1,0,1), B=(7,3,4) e C=(3,-1,4). Seja H o pé da altura do triângulo A B C relativa a base A B, isto é, seja H o ponto da reta A B de modo que as retas A B e H C são perpendiculares. Use o exercício anterior para determinar as coordenadas do ponto H.

Passo 1

O enunciado pede o pé H da altura traçada de C sobre a reta que passa por A e B.
O conteúdo principal aqui é projeção de vetor em reta usando produto escalar: se H pertence a AB, podemos escrever
H = A + t,(B - A)
e a condição de perpendicularidade entre CH e AB é
(H - C)cdot (B - A) = 0

Passo 2

Calculemos o vetor direção da reta AB:
B-A = (7,3,4) - (1,0,1) = (6,3,3)

Passo 3

Escrevendo H = A + t,(B - A), a perpendicularidade dá
l(A + t(B-A) - Cr)cdot (B-A) = 0 ;Longrightarrow; l((C-A)cdot (B-A)r) - t,(B-A)cdot(B-A) = 0
Logo
t = (C-A)cdot (B-A)(B-A)cdot(B-A)
Agora,
C-A = (3,-1,4)-(1,0,1) = (2,-1,3),
(C-A)cdot(B-A) = 2cdot6 +(-1)cdot3 +3cdot3 = 12 -3 +9 = 18,
(B-A)cdot(B-A) = 6^2 +3^2 +3^2 = 36 +9 +9 = 54,
portanto
t = 1854 = 13

Passo 4

Substituindo em H = A + t(B-A), obtemos
H = (1,0,1) + tfrac13(6,3,3) = (1+2,;0+1,;1+1) = (3,1,2)

Resposta

As coordenadas de H são (3,1,2).

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