Considere o plano
de equação
e o ponto
.
(a) O ponto
pertence ao plano
?
(b) Determine a equação paramétrica da reta que passa por
e é perpendicular ao plano
.
(c) Determine a projeção ortogonal
do ponto
no plano
(
é a interseção da reta do item (b) com o plano
). Calcule
.
(d) Determine o ponto simétrico de
em relação ao plano
(O ponto simétrico de
em relação ao plano
é o ponto simétrico de
em relação ao ponto
).
(a) O ponto
(b) Determine a equação paramétrica da reta que passa por
(c) Determine a projeção ortogonal
(d) Determine o ponto simétrico de
Passo 1
O enunciado trata de um plano
de equação
e de um ponto
.
Os tópicos envolvidos são:
– Verificar se um ponto pertence a um plano, substituindo as coordenadas na equação do plano.
– Equação paramétrica de reta com direção dada por um vetor normal ao plano.
– Projeção ortogonal de um ponto em um plano, obtida pela interseção da reta perpendicular com o plano.
– Cálculo de distância ponto–plano e ponto simétrico em relação a um plano.
Os tópicos envolvidos são:
– Verificar se um ponto pertence a um plano, substituindo as coordenadas na equação do plano.
– Equação paramétrica de reta com direção dada por um vetor normal ao plano.
– Projeção ortogonal de um ponto em um plano, obtida pela interseção da reta perpendicular com o plano.
– Cálculo de distância ponto–plano e ponto simétrico em relação a um plano.
Passo 2
Para ver se
pertence a
, substituímos
em
:
logo
não pertence ao plano.
Passo 3
O vetor normal a
é
. A reta
que passa por
e é perpendicular a
tem equação paramétrica
ou seja
Passo 4
Para encontrar
, intersecionamos
com
. Substituindo na equação do plano:
Então
A distância é
com
, logo
Passo 5
O ponto simétrico
de
em relação a
é o simétrico de
em relação a
, dado por
Resposta
(a) Não.
(b)
(c) e
(d)
(b)
(c)
(d)