Considere o plano alpha de equação x-2 y+3 z=4 e o ponto A=(2,8,-8).
(a) O ponto A pertence ao plano alpha ?
(b) Determine a equação paramétrica da reta que passa por A e é perpendicular ao plano alpha.
(c) Determine a projeção ortogonal P do ponto A no plano alpha ( P é a interseção da reta do item (b) com o plano alpha ). Calcule dist(A, alpha)=dist(A, P).
(d) Determine o ponto simétrico de A em relação ao plano alpha (O ponto simétrico de A em relação ao plano alpha é o ponto simétrico de A em relação ao ponto P ).

Passo 1

O enunciado trata de um plano alpha de equação
x - 2y + 3z = 4
e de um ponto A=(2,8,-8).
Os tópicos envolvidos são:
– Verificar se um ponto pertence a um plano, substituindo as coordenadas na equação do plano.
– Equação paramétrica de reta com direção dada por um vetor normal ao plano.
– Projeção ortogonal de um ponto em um plano, obtida pela interseção da reta perpendicular com o plano.
– Cálculo de distância ponto–plano e ponto simétrico em relação a um plano.

Passo 2

Para ver se A pertence a alpha, substituímos (x,y,z)=(2,8,-8) em x-2y+3z:
2 - 2cdot 8 + 3cdot(-8) = 2 -16 -24 = -38 neq 4,
logo A não pertence ao plano.

Passo 3

O vetor normal a alpha é n=(1,-2,3). A reta r que passa por A e é perpendicular a alpha tem equação paramétrica
(x,y,z) = (2,8,-8) + t,(1,-2,3),
ou seja
x = 2 + t, y = 8 - 2t, z = -8 + 3t,; tinR

Passo 4

Para encontrar , intersecionamos com . Substituindo na equação do plano:
Então
A distância é com , logo

Passo 5

O ponto simétrico A' de A em relação a alpha é o simétrico de A em relação a P, dado por
A' = 2P - A = (2cdot5 -2,;2cdot2 -8,;2cdot1 -(-8)) = (8,-4,10)

Resposta

(a) Não.
(b)
(c) e
(d)

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