(a) Mostre que e são retas reversas.
(b) Determine a equação paramétrica da reta que passa por e que é concorrente com e com .
Passo 1
O enunciado dá duas retas em
e pede em (a) mostrar que são retas reversas (skew) e em (b) achar a reta que passa por e intersecta simultaneamente e . Para isso vamos usar, em (a), comparação de vetores diretores e solução do sistema paramétrico, e em (b) a condição de colinearidade de três pontos.
Passo 2
Para ver que e não são paralelas basta comparar os vetores diretores
Como não existe escalar tal que , concluímos que as retas não são paralelas.
Passo 3
Para mostrar que não se intersectam, igualamos parâmetros:
Da segunda equação vem . Substituindo na terceira temos , . Mas na primeira fica
portanto não há solução comum e as retas não se intersectam. Logo são reversas.
Passo 4
Agora em (b) queremos a reta que passa por e que intersecta em e em . Escrevemos
A condição de colinearidade de é
Isso gera um sistema em , cuja solução válida é
Passo 5
Com e obtemos
Como passa por e por , seu vetor diretor é
Logo uma equação paramétrica para ell é
ell:;(x,y,z)=(-1,3,-8)+u(-1,-1,7)
Resposta
(a) m e n são retas reversas (não paralelas e sem ponto de interseção).
(b)