Considere as retas m e n de equações paramétricas
m:(x, y, z)=(1,-1,0)+t(-2,1,3) n:(x, y, z)=(2,3,1)+s(4,1,2)
(a) Mostre que m e n são retas reversas.
(b) Determine a equação paramétrica da reta ell que passa por P=(-1,3,-8) e que é concorrente com m e com n.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3
m:;(x,y,z)=(1,-1,0)+t(-2,1,3),
n:;(x,y,z)=(2,3,1)+s(4,1,2),
e pede em (a) mostrar que são retas reversas (skew) e em (b) achar a reta ell que passa por P=(-1,3,-8) e intersecta simultaneamente m e n. Para isso vamos usar, em (a), comparação de vetores diretores e solução do sistema paramétrico, e em (b) a condição de colinearidade de três pontos.

Passo 2

Para ver que m e n não são paralelas basta comparar os vetores diretores
vm=(-2,1,3), vn=(4,1,2)
Como não existe escalar lambda tal que (-2,1,3)=lambda(4,1,2), concluímos que as retas não são paralelas.

Passo 3

Para mostrar que não se intersectam, igualamos parâmetros:
1-2t = 2+4s, -1+t = 3+s, 3t = 1+2s
Da segunda equação vem t=4+s. Substituindo na terceira temos 3(4+s)=1+2simplies s=-11, t=-7. Mas na primeira fica
1-2(-7)=15neq 2+4(-11)=-42,
portanto não há solução comum e as retas não se intersectam. Logo são reversas.

Passo 4

Agora em (b) queremos a reta ell que passa por P e que intersecta m em Q=m(t) e n em R=n(s). Escrevemos
Q=(1-2t,,-1+t,,3t), R=(2+4s,,3+s,,1+2s)
A condição de colinearidade de P,Q,R é
(Q-P)times(R-P)=0
Isso gera um sistema em t,s, cuja solução válida é
t=2, s=-1

Passo 5

Com t=2 e s=-1 obtemos
Q=m(2)=(-3,1,6), R=n(-1)=(-2,2,-1)
Como ell passa por P=(-1,3,-8) e por Q, seu vetor diretor é
PQ=Q-P=(-3+1,,1-3,,6+8)=(-2,-2,14)=!2(-1,-1,7)
Logo uma equação paramétrica para ell é
ell:;(x,y,z)=(-1,3,-8)+u(-1,-1,7)

Resposta

(a) m e n são retas reversas (não paralelas e sem ponto de interseção).
(b)
ell:;(x,y,z)=(-1,3,-8)+u(-1,-1,7)

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