Sejam H1, H2 e H3 os planos dados pelas equações
x+2 y+3 z-6=0 2 x+4 y+5 z-5=0 3 x+6 y+z-13=0
respectivamente. A interseção desses três planos é um único ponto? Em caso afirmativo, utilizando a regra de Crammer, encontre o ponto de interseção de H1, H2 e H3.

Passo 1

O enunciado dá três planos em R^3 cujas equações formam o sistema
x+2y+3z-6=0, 2x+4y+5z-5=0, 3x+6y+z-13=0
Para haver um único ponto de interseção, a matriz de coeficientes deve ter determinante não nulo e então poderemos usar a regra de Cramer.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A= 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 6 & 1
e calculamos o determinante De<a:
De<a =det A =1cdot(4cdot1-5cdot6) -2cdot(2cdot1-5cdot3) +3cdot(2cdot6-4cdot3)

Passo 3

Calculando cada parte:
1cdot(4-30)-2cdot(2-15)+3cdot(12-12) =-26-2cdot(-13)+3cdot0 =-26+26+0 =0
Como De<a=0, não há solução única. Precisamos checar se o sistema é compatível indeterminado ou incompatível.

Passo 4

Subtraindo duas vezes a primeira equação da segunda, obtemos
(2x+4y+5z-5)-2(x+2y+3z-6)=0 implies -z+7=0 implies z=7
Substituindo z=7 na primeira equação:
x+2y+3cdot7-6=0 implies x+2y+15=0 implies x=-2y-15
Logo H1 cap H2 é a reta (x,y,z)mid x=-2y-15, z=7. Substituindo esses valores na terceira equação:
3(-2y-15)+6y+7-13=0 implies -6y-45+6y-6=0 implies -51=0,
que é uma contradição. Portanto o sistema é incompatível.

Resposta

Não existe ponto de interseção comum aos três planos.

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