Considere o plano alpha de equação x-2 y+3 z=4 e o ponto A=(2,8,-8).
Calcule dist(A, alpha).

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
x - 2y + 3z = 4
e o ponto A=(2,8,-8). Queremos a distância de A a alpha. Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano em R^3:
dist(A,alpha) = l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2 + b^2 + c^2,
onde ax + by + cz + d = 0 é a forma geral do plano e (x0,y0,z0) são as coordenadas do ponto.

Passo 2

Reescrevemos a equação do plano na forma ax+by+cz+d=0. Basta transpor o termo 4 para o lado esquerdo:
x - 2y + 3z - 4 = 0
Logo, a=1, b=-2, c=3 e d=-4.

Passo 3

Substituímos na fórmula o ponto A=(x0,y0,z0)=(2,8,-8). Calculamos primeiro o valor absoluto do numerador:
l|a x0 + b y0 + c z0 + dr| = l|1cdot2 + (-2)cdot8 + 3cdot(-8) - 4r| = l|2 - 16 - 24 - 4r| = lvert -42rvert = 42

Passo 4

Agora calculamos o denominador, que é a norma do vetor normal (a,b,c):
raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz1^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 5

Portanto, a distância é
dist(A,alpha) = 42raiz14 = 42raiz14cdotraiz14raiz14 = 42raiz1414 = 3raiz14

Resposta

dist(A,alpha) = 3raiz14

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