Considere o plano alpha de equação x-2 y+3 z=4 e o ponto A=(2,8,-8).
Determine o ponto simétrico de A em relação ao plano alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano alpha de equação
x - 2y + 3z = 4
e o ponto A = (2,8,-8).
O conteúdo aqui é simetria de ponto em relação a um plano, que se resolve encontrando o pé da perpendicular do ponto ao plano (projeção ortogonal) e depois refletindo.

Passo 2

O vetor normal ao plano é
n = (1, -2, 3)
A reta perpendicular a alpha que passa por A tem equação paramétrica
X(lambda) = A + lambda,n = (2,8,-8) + lambda,(1,-2,3)

Passo 3

Para achar o pé H dessa perpendicular, fazemos X(lambda) satisfazer a equação do plano:
(2+lambda);-;2(8-2lambda);+;3(-8+3lambda);=;4
Desenvolvendo:
2+lambda -16 +4lambda -24 +9lambda = 4 Longrightarrow 14lambda -38 = 4 Longrightarrow lambda = 3
Logo
H = X(3) = (2+3,;8-2cdot3,;-8+3cdot3) = (5,2,1)

Passo 4

O ponto simétrico A' de A em relação ao plano é tal que H é o ponto médio de AA'. Assim,
A' = 2H - A = l(2cdot5 - 2,;2cdot2 - 8,;2cdot1 - (-8)r) = (8,-4,10)

Resposta

O ponto simétrico de A em relação ao plano alpha é (8,-4,10).

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