Considere as retas paralelas
r:(x, y, z)=(-6,3,-2)+t(3,-1,2) s:(x, y, z)=(-3,30,-14)+s(3,-1,2)
Determine a equação do plano alpha que contém r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas paralelas
r:,(x,y,z)=(-6,3,-2)+t,(3,-1,2), s:,(x,y,z)=(-3,30,-14)+s,(3,-1,2)
e pede o plano alpha que as contém. Para isso precisamos de um vetor diretor comum às retas e de um segundo vetor no plano (por exemplo, o vetor que liga um ponto de r a um ponto de s), então calculamos o vetor normal pela produto vetorial e, por fim, escrevemos a equação do plano em forma ponto–normal.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor comum
v = (3,-1,2)
e escolhemos um ponto em cada reta, por exemplo
P = (-6,3,-2)in r, Q = (-3,30,-14)in s

Passo 3

Calculamos o vetor que liga P a Q:
w = Q - P = l(-3-(-6),,30-3,,-14-(-2)r) = (3,,27,,-12)

Passo 4

O vetor normal ao plano é
n = vtimes w = i & j & k 3 & -1 & 2 3 & 27 & -12 = (-42,,42,,84),
que podemos simplificar dividindo por -42 para obter
n = (1,,-1,,-2)

Passo 5

A forma ponto–normal do plano usando P é
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0 ;Longrightarrow; (1,-1,-2)cdot(x+6,y-3,z+2)=0
Expandindo:
x+6 ;-;(y-3);-;2(z+2)=0 ;Longrightarrow; x - y - 2z +5=0

Resposta

x - y - 2z + 5 = 0

Exercícios relacionados