Considere as retas paralelas
r:(x, y, z)=(-6,3,-2)+t(3,-1,2) s:(x, y, z)=(-3,30,-14)+s(3,-1,2)
Dê um exemplo de uma reta perpendicular a r e a s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas paralelas
r: (x,y,z)=(-6,3,-2)+t,(3,-1,2)
s: (x,y,z)=(-3,30,-14)+s,(3,-1,2)
e pede uma reta perpendicular a ambas. O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos usar o produto escalar para garantir perpendicularidade.

Passo 2

Seja u=(3,-1,2) o vetor diretor comum a r e s. Queremos um vetor v=(v1,v2,v3) tal que
ucdotv=3v1-1,v2+2v3=0
Para simplificar, escolhemos v1=2 e v2=4. Substituindo:
3cdot2-1cdot4+2v3=6-4+2v3=0 Longrightarrow 2+2v3=0 Longrightarrow v3=-1
Logo podemos tomar v=(2,4,-1).

Passo 3

Basta agora definir a reta passando por um ponto de r—por exemplo P=(-6,3,-2)—e com direção v. Assim uma reta perpendicular é
L:;(x,y,z)=(-6,3,-2)+lambda,(2,4,-1)

Passo 4

Para confirmar, calculemos o produto escalar de v com u:
ucdotv=3cdot2+(-1)cdot4+2cdot(-1)=6-4-2=0,
o que mostra que L é perpendicular a ambos r e s.

Resposta

Uma reta perpendicular a r e s é
(x,y,z)=(-6,3,-2)+lambda,(2,4,-1)

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