Considere a reta r de equação paramétrica
(x, y, z)=(5,0,-5)+t(-2,1,4)
(a) Mostre que a reta r e o eixo z são retas reversas.
(b) Calcule a distância entre a reta r e o eixo z calculando um ponto A sobre o eixo z e um ponto B sobre a reta r de modo que a reta over<=ftrightarrowA B é a perpendicular comum ao eixo z e a reta r.
(c) Determine a equação do plano que contém a reta r e que é paralelo ao eixo z.

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma paramétrica
(x,y,z) = (5,0,-5) + t,(-2,1,4),
e o eixo z cuja equação paramétrica é
(x,y,z) = (0,0,0) + s,(0,0,1)
O conteúdo aqui é geometria no espaço: (a) mostrar que r e o eixo z são reversas (skew), (b) calcular a distância entre elas por meio da perpendicular comum, e (c) achar o plano que contém r e é paralelo ao eixo z.

Passo 2

Para serem paralelas as direções teriam de ser múltiplos: o vetor diretor de r é v=(-2,1,4) e do eixo z é u=(0,0,1). Claramente não existem lambda tais que v=lambda u. Para verificar que não se interceptam, igualamos
(5-2t,;t,;-5+4t);=;(0,0,s)
Das duas primeiras componentes vem
5-2t=0Longrightarrow t=tfrac52, t=0Longrightarrow t=0,
que é impossível. Logo não há ponto em comum. Concluímos que são retas reversas.

Passo 3

Procuramos pontos A no eixo z e B em r tais que AB seja perpendicular a ambos. Seja
A=(0,0,zA), B=(5,0,-5)+t,(-2,1,4)=(5-2t,;t,;-5+4t)
O vetor AB=(5-2t,;t,;-5+4t-zA) deve ser paralelo ao vetor normal ao par de direções u e v, ou seja ao n= utimes v. Calculamos
n =(0,0,1)times(-2,1,4) =(1,2,0)
Logo existem lambda tais que
(5-2t,;t,;-5+4t-zA) =lambda,(1,2,0)
Das componentes em x e y obtemos
5-2t=lambda, t=2lambda,
que leva a lambda=-1, t=2. Da componente em z vem
-5+4t-zA=0 Longrightarrow zA=-5+8=3
Assim
A=(0,0,3), B=(5-4,;2,;-5+8)=(1,2,3),
e a distância é
AB=l|,(1,2,3)-(0,0,3)r| =raiz1^2+2^2+0^2 =raiz5

Passo 4

Para achar o plano que contém r e é paralelo ao eixo z, usamos dois vetores diretores: v=(-2,1,4) de r e u=(0,0,1) do eixo z. O normal do plano é
N= vtimes u =( -2,1,4)times(0,0,1) =(1,2,0)
Tomando o ponto (5,0,-5) de r, a equação do plano é
Ncdotl((x,y,z)-(5,0,-5)r)=0 Longrightarrow 1,(x-5)+2,(y-0)+0,(z+5)=0,
isto é
x+2y-5=0

Resposta

(a) As direções (-2,1,4) e (0,0,1) não são proporcionais e não há solução para (5-2t,t,-5+4t)=(0,0,s), logo são retas reversas.
(b) d(r,eixo;z)=raiz5.
(c) A equação do plano é
x+2y-5=0

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