(a) Mostre que a reta e o eixo são retas reversas.
(b) Calcule a distância entre a reta e o eixo calculando um ponto sobre o eixo e um ponto sobre a reta de modo que a reta é a perpendicular comum ao eixo e a reta .
(c) Determine a equação do plano que contém a reta e que é paralelo ao eixo .
Passo 1
O enunciado dá a reta em forma paramétrica
e o eixo cuja equação paramétrica é
O conteúdo aqui é geometria no espaço: (a) mostrar que e o eixo são reversas (skew), (b) calcular a distância entre elas por meio da perpendicular comum, e (c) achar o plano que contém e é paralelo ao eixo .
Passo 2
Para serem paralelas as direções teriam de ser múltiplos: o vetor diretor de é e do eixo é . Claramente não existem tais que . Para verificar que não se interceptam, igualamos
Das duas primeiras componentes vem
que é impossível. Logo não há ponto em comum. Concluímos que são retas reversas.
Passo 3
Procuramos pontos no eixo e em tais que seja perpendicular a ambos. Seja
(a) As direções (-2,1,4) e (0,0,1) não são proporcionais e não há solução para (5-2t,t,-5+4t)=(0,0,s), logo são retas reversas.
(b) d(r,eixo;z)=raiz5.
(c) A equação do plano é