Considere o plano alpha e a reta r de respectivas equações
alpha: x-y+z=1 r:(x, y, z)=(0,3,1)+t(2,-1,-3)
(a) Mostre que a reta r é paralela ao plano alpha.
(b) Ache o plano que contém r e é perpendicular a alpha.
(c) Ache o plano que contém r e é paralelo a alpha.
(d) Determine a equação da reta que é a projeção ortogonal de r sobre alpha.
(e) Calcule dist (r, alpha). (OBS.: A distância de uma reta a um plano é definida somente quando a reta é paralela ao plano.)

Passo 1

O enunciado dá o plano
alphacolon x - y + z = 1
com vetor normal
n = (1,-1,1),
e a reta
rcolon (x,y,z) = (0,3,1) + t,(2,-1,-3)
com ponto P0=(0,3,1) e direção v=(2,-1,-3).
Os itens envolvem:
  • (a) paralelismo reta–plano via produto escalar;
  • (b) e (c) construção de planos usando vetores normais;
  • (d) projeção ortogonal de reta num plano;
  • (e) distância de reta paralela a plano.

Passo 2

Para mostrar que r é paralela a alpha basta ver que a direção v é ortogonal ao normal n. Calculamos
ncdotv = (1)cdot 2 + (-1)cdot(-1) + (1)cdot(-3) = 2 + 1 - 3 = 0
Como ncdotv=0, a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Queremos o plano P que contém r e é perpendicular a alpha. Dois planos são perpendiculares se seus normais são ortogonais. Mas um plano perpendicular a alpha deve conter o vetor normal n de alpha. Logo P é gerado pelos vetores v e n, e seu normal é
m = vtimesn = (2,-1,-3)times(1,-1,1) = (-4,,-5,,-1)
Usando o ponto P0=(0,3,1) na equação mcdot((x,y,z)-P0)=0, obtemos
-4(x-0)-5(y-3)-1(z-1)=0 ;Longrightarrow; 4x+5y+z-16=0

Passo 4

O plano Q que contém r e é paralelo a alpha deve ter o mesmo normal n=(1,-1,1). Usando P0, escrevemos
1cdot(x-0)-1cdot(y-3)+1cdot(z-1)=0 ;Longrightarrow; x - y + z +2 =0

Passo 5

Para projetar ortogonalmente r em alpha, projetamos o ponto P0 e a direção v. Como vperpn, sua projeção no plano é ele mesmo. Para o ponto, a projeção
,P' = P0 - dfracncdot P0 -1|n|^2,n.
Aqui ncdot P0 -1 = (0-3+1)-1=-3 e |n|^2=3, então
P' = (0,3,1) - l(tfrac-33r)(1,-1,1) = (0,3,1)+(1,-1,1) = (1,2,2)
Logo a projeção é
r'colon (x,y,z)=(1,2,2)+t,(2,-1,-3)

Passo 6

Como rparal<=lalpha, a distância é a mesma de P0 ao plano:
dist(r,alpha) = l|1cdot0 -1cdot3 +1cdot1 -1r|raiz1^2+(-1)^2+1^2 = |-3|raiz3 = 3raiz3 = raiz3

Resposta

(a) Como ncdotv=0, r é paralela a alpha.
(b) 4x + 5y + z - 16 = 0.
(c) x - y + z + 2 = 0.
(d) r'colon (x,y,z)=(1,2,2)+t,(2,-1,-3).
(e) dist(r,alpha)=raiz3

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