Considere o plano e a reta de respectivas equações
(a) Mostre que a reta é paralela ao plano .
(b) Ache o plano que contém e é perpendicular a .
(c) Ache o plano que contém e é paralelo a .
(d) Determine a equação da reta que é a projeção ortogonal de sobre .
(e) Calcule dist . (OBS.: A distância de uma reta a um plano é definida somente quando a reta é paralela ao plano.)
Passo 1
O enunciado dá o plano
com vetor normal ,
e a reta
com ponto e direção .
Os itens envolvem:
(a) paralelismo reta–plano via produto escalar;
(b) e (c) construção de planos usando vetores normais;
(d) projeção ortogonal de reta num plano;
(e) distância de reta paralela a plano.
Passo 2
Para mostrar que é paralela a basta ver que a direção é ortogonal ao normal . Calculamos
Como , a reta é paralela ao plano.
Passo 3
Queremos o plano que contém e é perpendicular a . Dois planos são perpendiculares se seus normais são ortogonais. Mas um plano perpendicular a deve conter o vetor normal de . Logo é gerado pelos vetores e , e seu normal é
Usando o ponto na equação , obtemos
Passo 4
O plano que contém e é paralelo a deve ter o mesmo normal . Usando , escrevemos
Passo 5
Para projetar ortogonalmente em , projetamos o ponto e a direção . Como , sua projeção no plano é ele mesmo. Para o ponto, a projeção .
Aqui e , então
Logo a projeção é
Passo 6
Como , a distância é a mesma de ao plano:
Resposta
(a) Como ncdotv=0, r é paralela a alpha.
(b) 4x + 5y + z - 16 = 0.
(c) x - y + z + 2 = 0.
(d) r'colon (x,y,z)=(1,2,2)+t,(2,-1,-3).
(e) dist(r,alpha)=raiz3