Considere o plano alpha de equação 2 x+y-z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3,-4)+t(1,-1,2).
Calcule o angulo entre r e alpha.

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
2x + y - z = 4
e a reta r parametrizada por
(x,y,z) = (0,3,-4) + t,(1,-1,2)
Queremos o ângulo varphi entre a reta e o plano. Para isso, vamos usar a direção da reta e a normal do plano, e a relação
sinvarphi = l| vcdot nr|| v|;| n|,
em que v é o vetor diretor da reta e n é o vetor normal ao plano.

Passo 2

Identificamos os vetores:
– vetor diretor da reta
v = (1,,-1,,2),
– vetor normal ao plano (coeficientes de x,y,z)
n = (2,,1,,-1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar vcdot n:
vcdot n = 1cdot2 + (-1)cdot1 + 2cdot(-1) = 2 - 1 - 2 = -1

Passo 4

Calculamos as normas:
| v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz6, | n| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz6

Passo 5

Aplicando a fórmula do seno do ângulo entre reta e plano,
sinvarphi = l| vcdot nr|| v|;| n| = |-1|raiz6,raiz6 = 16
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varphi = arcsin!l(tfrac16r)

Resposta

varphi = arcsin!l(tfrac16r)approx 9,59^circ.

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