Considere o plano alpha de equação x+2 y-z=3 e a reta r de equação (x, y, z)= (2,1,1)+t(2,1,4).
Dê um exemplo de uma reta contida em alpha e que é perpendicular a r.

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
x + 2y - z = 3
e a reta r de equação
(x,y,z) = (2,1,1) + t,(2,1,4)
Precisamos encontrar uma reta contida em alpha e perpendicular a r. Vamos usar conceitos de vetores normais a planos, vetores diretores de retas e produto vetorial para achar um vetor direção perpendicular a r e paralelo ao plano.

Passo 2

O vetor normal de alpha é
n = (1,2,-1),
pois os coeficientes de x,y,z na equação do plano formam n.
O vetor diretor de r é
v = (2,1,4)

Passo 3

Para que uma reta seja perpendicular a r e pertença a alpha, seu vetor direção d deve satisfazer
d cdot v = 0 e d cdot n = 0
Um modo direto de obter tal d é usar o produto vetorial
d = v times n
Calculando:
d = (2,1,4)times(1,2,-1) = l(1cdot(-1)-4cdot2,;4cdot1-2cdot(-1),;2cdot2-1cdot1r) = (-9,6,3)
Podemos simplificar dividindo por 3 e obter
d = (-3,2,1)

Passo 4

Basta agora escolher um ponto P0 que pertença a alpha. Note que o ponto
P0 = (2,1,1)
está em r e satisfaz
2 + 2cdot1 - 1 = 3,
logo P0inalpha.

Passo 5

A reta procurada, passando por P0 e com vetor direção d, é
(x,y,z) = (2,1,1) + s,(-3,2,1)

Resposta

Uma reta contida em alpha e perpendicular a r é
(x,y,z) = (2,1,1) + t,(-3,2,1)

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