Considere o plano alpha de equação 2 x+y-z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3,-4)+t(1,-1,2).
Determine o plano que contém r e é perpendicular a alpha.

Passo 1

O enunciado pede o plano P que contém a reta
r:;(x,y,z)=(0,3,-4)+t,(1,-1,2)
e que é perpendicular ao plano
alpha:;2x+y-z=4
O conteúdo de matéria que vamos usar é a condição de perpendicularidade entre planos (seus vetores normais são ortogonais) e a condição de contenção de uma reta em um plano (o vetor normal do plano é ortogonal ao vetor diretor da reta).

Passo 2

Do plano alpha extraímos seu vetor normal
nalpha=(2,1,-1),
e da reta r extraímos seu vetor diretor
vr=(1,-1,2)

Passo 3

Seja nP o vetor normal do plano P. Como P contém r, temos
nPcdot vr=0,
e como Pperp alpha, também
nPcdot nalpha=0
Logo nP deve ser ortogonal a ambos vr e nalpha.

Passo 4

Um vetor ortogonal a dois vetores é dado pelo produto vetorial. Então podemos tomar
nP = vrtimes nalpha = i & j & k 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1 =(-1,5,3)

Passo 5

Para escrever a equação de P, usamos o ponto (0,3,-4) da reta r. A forma geral é
nPcdotl((x,y,z)-(0,3,-4)r)=0,
isto é,
(-1,5,3)cdot(x,;y-3,;z+4)=0
Fazendo o produto escalar,
-1cdot x +5,(y-3)+3,(z+4)=0 ;Longrightarrow; -,x+5y-15+3z+12=0 ;Longrightarrow; -,x+5y+3z-3=0

Resposta

A equação do plano procurado é
-,x + 5y + 3z - 3 = 0

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