Considere os planos alpha: x-y+3 z=1, beta: 2 x-3 y-z=2.
Calcule o angulo entre os planos alpha e beta.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
alpha: x - y + 3z = 1 e beta: 2x - 3y - z = 2
e pede o ângulo entre eles. O conteúdo aqui é geometria analítica em 3D: o ângulo entre planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Para resolver, vamos extrair os normais, calcular produto escalar e normas, usar a fórmula do cosseno do ângulo e por fim achar theta.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de cada plano:
o normal de alpha é
nalpha = (1,,-1,,3),
e o normal de beta é
nbeta = (2,,-3,,-1)

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar nalpha cdot nbeta e as normas |nalpha|, |nbeta|:
nalpha cdot nbeta = 1cdot2 + (-1)cdot(-3) + 3cdot(-1) = 2 + 3 - 3 = 2,
|nalpha| = raiz1^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz11, |nbeta| = raiz2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = raiz14

Passo 4

Usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores:
costheta = l|nalpha cdot nbetar||nalpha|,|nbeta| = |2|raiz11,raiz14 = 2raiz154
Logo,
theta = arccos!gl(2raiz154gr)

Passo 5

Se quisermos valor numérico aproximado,
theta approx arccos(0,1612) approx 80,7^circ

Resposta

theta = arccos!l(2raiz154r)approx 80,7^circ

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