Verifique se as seguintes retas são paralelas, concorrentes ou reversas. Se possível determine a equação do plano que contém as duas retas.
l x=3+t y=3+2 t z=4+t
l x=-1+2 s y=-2+s z=3-s

Passo 1

Temos duas retas em forma paramétrica e queremos verificar se elas são paralelas, concorrentes (intersectam) ou reversas (não se intersectam e não são paralelas). Para isso, vamos extrair os vetores diretores, testar paralelismo e, se não forem paralelas, tentar achar um ponto comum. Se encontrarmos interseção, construiremos o plano que as contém usando o produto vetorial para obter a normal.

Passo 2

A primeira reta é
x = 3 + t, y = 3 + 2t, z = 4 + t,
então seu vetor diretor é
v1 = (1,2,1)
A segunda reta é
x = -1 + 2s, y = -2 + s, z = 3 - s,
com vetor diretor
v2 = (2,1,-1)

Passo 3

Para ver se são paralelas, procuramos lambda tal que
(1,2,1) = lambda,(2,1,-1)
Da primeira coordenada temos lambda = 1/2, mas da segunda obteríamos lambda = 2. Como não há lambda que resolva todas as coordenadas, as retas não são paralelas.

Passo 4

Agora testamos interseção igualando coordenadas:
3 + t = -1 + 2s, 3 + 2t = -2 + s, 4 + t = 3 - s
Resolvendo esse sistema encontra-se t = -2 e s = 1. Substituindo, as três equações são satisfeitas e o ponto comum é
P = (1,,-1,,2)

Passo 5

Como não são paralelas e têm um ponto em comum, concluímos que são concorrentes (intersectam) e, portanto, existe um plano que as contém.

Passo 6

Para achar a equação desse plano, calculamos a normal pelo produto vetorial:
n = v1 times v2 = (1,2,1)times(2,1,-1) = (-3,3,-3),
podendo simplificar para n = (1,-1,1). A equação geral de um plano com normal (a,b,c) passando por P=(x0,y0,z0) é
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
Substituindo a=1, b=-1, c=1 e P=(1,-1,2), vem
(x-1) - (y+1) + (z-2) = 0 Longrightarrow x - y + z = 4

Resposta

As retas são concorrentes (intersectam no ponto (1,-1,2)) e o plano que as contém tem equação
x - y + z = 4

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