Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine o plano que contém e que é perpendicular a .
Passo 1
O enunciado dá o plano de equação
e a reta de equação
Queremos encontrar o plano que contém e é perpendicular a . Para isso, vamos usar dois fatos: . Um plano é perpendicular a outro se e somente se seus vetores normais são perpendiculares. . Se a reta está contida em , então o vetor diretor de é paralelo ao plano , logo o normal de é perpendicular a esse vetor diretor.
Passo 2
Identificamos:
O vetor normal de é .
O vetor diretor de é .
Pelo item , o normal do plano precisa satisfazer
e pelo item também precisa satisfazer
Uma forma direta de achar é tomar o produto vetorial entre e .
Passo 3
Calculamos o produto vetorial
Fazendo a expansão:
Podemos simplificar dividindo por 3, obtendo
n2 = (3,-2,-1) ]
Passo 4
Agora formamos a equação do plano pi usando n2=(3,-2,-1) e o ponto P0=(2,1,1) que está em r. A equação ponto-normal é