Considere o plano alpha de equação x+2 y-z=3 e a reta r de equação (x, y, z)= (2,1,1)+t(2,1,4).
Determine o plano que contém r e que é perpendicular a alpha.

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
x + 2y - z = 3
e a reta r de equação
(x,y,z) = (2,1,1) + t,(2,1,4)
Queremos encontrar o plano pi que contém r e é perpendicular a alpha. Para isso, vamos usar dois fatos:
1. Um plano é perpendicular a outro se e somente se seus vetores normais são perpendiculares.
2. Se a reta r está contida em pi, então o vetor diretor de r é paralelo ao plano pi, logo o normal de pi é perpendicular a esse vetor diretor.

Passo 2

Identificamos:
  • O vetor normal de alpha é n1 = (1,2,-1).
  • O vetor diretor de r é v = (2,1,4).
    Pelo item 1, o normal n2 do plano pi precisa satisfazer
n2 cdot n1 = 0,
e pelo item 2 também precisa satisfazer
n2 cdot v = 0
Uma forma direta de achar n2 é tomar o produto vetorial entre n1 e v.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
n2 = n1 times v = (1,2,-1)times(2,1,4)
Fazendo a expansão:
n2 = i & j & k [6pt] 1 & 2 & -1 [3pt] 2 & 1 & 4 = (2cdot4 - (-1)cdot1),i - (1cdot4 - (-1)cdot2),j + (1cdot1 - 2cdot2),k = (9,-6,-3)
Podemos simplificar dividindo por 3, obtendo
n2 = (3,-2,-1) ]

Passo 4

Agora formamos a equação do plano pi usando n2=(3,-2,-1) e o ponto P0=(2,1,1) que está em r. A equação ponto-normal é
3(x-2) - 2(y-1) - 1(z-1) = 0
Expandindo:
3x - 6 ;-;2y + 2 ;-;z + 1 = 0 ;;Longrightarrow;; 3x - 2y - z - 3 = 0

Resposta

A equação do plano procurado é
boxed3x - 2y - z = 3

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