Considere os planos alpha: x-y+3 z=1, beta: 2 x-3 y-z=2.
Mostre que alpha e beta não são paralelos.

Passo 1

O enunciado dá dois planos em R^3:
alpha: x - y + 3z = 1 e beta: 2x - 3y - z = 2.
O conteúdo aqui é a condição de paralelismo entre planos: dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais forem múltiplos escalares um do outro.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de cada plano a partir dos coeficientes de x,y,z.
Para alpha,
nalpha = (1,,-1,,3)
Para beta,
nbeta = (2,,-3,,-1)

Passo 3

Verificamos se existe escalar k tal que
nbeta = k,nalpha
Isso exige simultaneamente
2 = kcdot 1, -3 = kcdot(-1), -1 = kcdot 3

Passo 4

Das três equações acima:
1. 2 = k 2. -3 = -k Rightarrow k = 3 3. -1 = 3k Rightarrow k = -tfrac13
Não há valor de k que satisfaça todas simultaneamente, logo nalpha e nbeta não são múltiplos escalares.

Resposta

Os planos alpha e beta não são paralelos.

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