em S10 e pede (a) a ordem de sigma e (b) sigma^2010. Para isso vamos usar teoria de ciclos disjuntos, calcular o lcm dos comprimentos e aproveitar que sigma^k depende de k módulo a ordem.
Passo 2
Decompomos sigma em ciclos disjuntos rastreando cada elemento:
sigma = (1;8;6;10),(2;7),(3;5;4;9)
Aqui aparecem três ciclos de comprimentos 4, 2 e 4.
Passo 3
A ordem de uma permutação é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos dos seus ciclos. Então
ord(sigma) = lcm(4,2,4) = 4
Passo 4
Para calcular sigma^2010, notamos que sigma^k só depende de k módulo 4. Como
2010 bmod 4 = 2,
temos sigma^2010 = sigma^2.
Passo 5
Basta elevar cada ciclo ao quadrado. Um 4-ciclo (a,b,c,d) ao quadrado vira (a,c)(b,d) e um transposição ao quadrado é identidade. Logo