Seja sigma a seguinte permutação de S1 0 :
sigma=(cccccccccc1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 8 & 7 & 5 & 9 & 4 & 10 & 2 & 6 & 3 & 1)
Calcule a ordem de sigma e a potência sigma^2010.

Passo 1

O enunciado dá a permutação
sigma= 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 8 & 7 & 5 & 9 & 4 & 10& 2 & 6 & 3 & 1
em S10 e pede (a) a ordem de sigma e (b) sigma^2010. Para isso vamos usar teoria de ciclos disjuntos, calcular o lcm dos comprimentos e aproveitar que sigma^k depende de k módulo a ordem.

Passo 2

Decompomos sigma em ciclos disjuntos rastreando cada elemento:
sigma = (1;8;6;10),(2;7),(3;5;4;9)
Aqui aparecem três ciclos de comprimentos 4, 2 e 4.

Passo 3

A ordem de uma permutação é o mínimo múltiplo comum dos comprimentos dos seus ciclos. Então
ord(sigma) = lcm(4,2,4) = 4

Passo 4

Para calcular sigma^2010, notamos que sigma^k só depende de k módulo 4. Como
2010 bmod 4 = 2,
temos sigma^2010 = sigma^2.

Passo 5

Basta elevar cada ciclo ao quadrado. Um 4-ciclo (a,b,c,d) ao quadrado vira (a,c)(b,d) e um transposição ao quadrado é identidade. Logo
sigma^2 = (1;6)(8;10);l[(2;7)^2r];(3;5;4;9)^2 = (1;6)(8;10)(3;4)(5;9),
onde 2 e 7 ficam fixos.

Resposta

ord(sigma)=4
sigma^2010=(1;6)(8;10)(3;4)(5;9)

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