Seja G=1,-1, i,-i o grupo de quatro números complexos sob a multiplicação.
(a) 1,-1 é um subgrupo de G ? Por quê ?
(b) 1, i é um subgrupo de G ? Por quê ?

Passo 1

O enunciado define o grupo G=1,-1,i,-i sob multiplicação e pede para verificar se as partes
1,-1 e 1,i são subgrupos de G.
Conteúdo: teste de subgrupo via verificação de identidade, fechamento e inversos.

Passo 2

Considere H=1,-1.
  1. A identidade 1 está em H.
  2. Fechamento: 1cdot1=1, 1cdot(-1)=-1,(-1)cdot(-1)=1, todos em H.
  3. Inversos: !1^-1=1in H e (-1)^-1=-1in H.
    Logo H satisfaz as condições de subgrupo.

Passo 3

Considere K=1,i.
  1. A identidade 1 está em K.
  2. Fechamento: icdot i = i^2 = -1 notin K, logo não há fechamento.
  3. Inverso de i é -inotin K.
    Portanto K falha em fechamento (e inversos) e não é subgrupo.

Resposta

(a) Sim, 1,-1 é subgrupo de G porque contém a identidade, é fechado e contém inversos.
(b) Não, 1,i não é subgrupo de G porque não é fechado ( icdot i=-1notin1,i) e não contém o inverso de i.

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