Considere o plano alpha de equação 2 x+y-z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3,-4)+t(1,-1,2).
Determine a reta contida em alpha e que é perpendicular a r.

Passo 1

O enunciado dá o plano alphacolon 2x+y-z=4 e a reta
rcolon (x,y,z)=(0,3,-4)+t,(1,-1,2)
Queremos achar a reta l que (i) está contida em alpha e (ii) é perpendicular a r.
Conteúdo envolvido: reta-plano, ortogonalidade de vetores em R^3, produto vetorial.

Passo 2

Uma reta l contida em alpha tem vetor diretor d que satisfaz
dcdot n=0,
onde n=(2,1,-1) é o vetor normal a alpha. Para que l seja também perpendicular a r, cujo vetor diretor é v=(1,-1,2), precisamos de
dcdot v=0
Logo, d deve ser simultaneamente ortogonal a n e a v.

Passo 3

O vetor que é ortogonal a dois vetores dados pode ser obtido pelo produto vetorial. Assim
d ;=; ntimes v = i& j& k 2&1&-1 1&-1&2 =(1,,-5,,-3)
Confirmamos que dcdot n=0 e dcdot v=0.

Passo 4

A reta l passa pelo ponto de interseção de r com alpha. Para achar esse ponto, substituímos
x=t, y=3-t, z=-4+2t
em 2x+y-z=4:
2t+(3-t)-(-4+2t)=4;Longrightarrow;7-t=4;Longrightarrow;t=3
No valor t=3 obtemos o ponto
Q=(3,0,2)
que pertence tanto a r quanto a alpha.

Passo 5

Assim, a reta l buscada passa por Q=(3,0,2) e tem vetor diretor d=(1,-5,-3). Em forma paramétrica:
lcolon (x,y,z) = (3,0,2) + s,(1,-5,-3)

Resposta

lcolon (x,y,z)=(3,0,2)+s,(1,-5,-3)

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