Considere o subespaço W de R^3 que é o plano de equação 2 x+y-3 z=0.
Determine uma base ortonormal u1, u2 de W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de WsubsetR^3 dada por
W=(x,y,z)inR^3mid 2x+y-3z=0
O conteúdo é achar vetores em W, aplicar Gram–Schmidt e normalizar.

Passo 2

Escolhemos dois vetores independentes em W tentando valores simples:
  • Se z=0, então 2x+y=0 y=-2x. Tomamos
    v1=(1,-2,0).
  • Se y=0, então 2x-3z=0 x=tfrac32z. Tomamos z=2 para evitar frações e
    v2=(3,0,2).

Passo 3

Primeiro vetor ortogonal e normalizado:
|v1|=raiz1^2+(-2)^2+0^2=raiz5,
u1=v1|v1| =1raiz5(1,-2,0)

Passo 4

Agora eliminamos a componente de v2 ao longo de u1:
proju1(v2) =(v2cdotu1),u1 =3raiz5,u1 =35(1,-2,0)
Logo
w2=v2-proju1(v2) =(3,0,2)-l(tfrac35,-tfrac65,0r) =l(tfrac125,tfrac65,2r)
Multiplicando por 5 obtém-se (12,6,10).

Passo 5

Normalizamos w2. Seu comprimento é
|w2| =raiz12^2+6^2+10^2 =raiz144+36+100 =raiz280 =2raiz70
Então
u2=w2|w2| =12raiz70(12,6,10) =1raiz70(6,3,5)

Resposta

u1=1raiz5(1,-2,0), u2=1raiz70(6,3,5)

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