Seja T uma transformação linear de M2,2 em R^3, dada pela regra T([lla & b c & d])=(a+b, a+c, d). Sobre esta transformação, podemos afirmar:
Escolha uma opção:
a. Nuc(T)=[cca & -a -a & 0] ; a in R
b. T não é transformação linear.
c. Nulidade = posto =2
d. A nulidade da transformação T é igual a 1, logo Nuc(T)=[ll0 & 0 0 & 0] é um conjunto com apenas 1 elemento.
e. Té um isomorfismo entre os espaços vetoriais M2,2 e R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon M2,2toR^3, Tl(a & b c & dr)=(a+b,;a+c,;d)
O que precisamos é descrever o núcleo de T, calcular sua nulidade e posto, e então escolher a alternativa correta.

Passo 2

Para ver que T é linear basta notar que cada coordenada de T(cdot) é combinação linear dos coeficientes a,b,c,d. Assim, para quaisquer matrizes X,Y e escalar lambda vale
T(X+Y)=T(X)+T(Y), T(lambda X)=lambda,T(X)

Passo 3

O núcleo de T é dado por
ker T =la & b c & din M2,2mid Tl(a & b c & dr)=(0,0,0)r
As condições T(cdot)=(0,0,0) impõem
a+b=0, a+c=0, d=0

Passo 4

Das equações seguem b=-a, c=-a e d=0. Logo
ker T =la & -a -a & 0colon ainRr,
que é um subespaço de dimensão 1. Como dim M2,2=4, pelo teorema do posto e nulidade temos nulidade =1 e posto =4-1=3. Portanto T não é isomorfismo nem tem posto igual a nulidade.

Resposta

a

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