Seja V=P3 ( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3). Qual dos subconjuntos a seguir é subespaço vetorial de V?
Escolha uma opção:
a. W=p(x) in P3 / p(2)=1
b. W=(p(x) in P3 / y=a x^3 com a neq 0
c. W=p(x) in P3 / Dx p(x)=0
d. W=p(x) in P3 / Dx p(x)=a x^2 com a neq 0
e. W=A=[lla & b b & 0] in M2 times 2 / a e b in R

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual dos conjuntos listados é subespaço vetorial de V = P3, o espaço de todos os polinômios de grau até 3. Para um subconjunto Wsubset V ser subespaço, ele deve satisfazer três condições:
  1. conter o polinômio zero;
  2. ser fechado sob soma;
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Analisamos a opção (a):
W=,p(x)in P3mid p(2)=1
O polinômio zero satisfaz 0(2)=0neq1, logo o zero não está em W. Portanto (a) não é subespaço.

Passo 3

Analisamos a opção (b):
W=,p(x)=a x^3mid aneq0
Aqui o polinômio zero corresponderia a a=0, mas esta escolha está proibida ( aneq0). Além disso, a soma de dois elementos de W pode ter coeficiente cúbico nulo e, portanto, sair de W. Logo (b) não é subespaço.

Passo 4

Analisamos a opção (c):
W=,p(x)in P3mid Dxp(x)=0
A condição Dxp(x)=0 significa que p é constante. O conjunto de todos os polinômios constantes contém o polinômio zero, e soma ou escalar de constantes continua sendo constante. Portanto (c) satisfaz todas as condições de subespaço.

Passo 5

Analisamos a opção (d):
W=,p(x)in P3mid Dxp(x)=a x^2 com aneq0
Se Dxp(x)=a x^2, então p(x)=tfraca3x^3+C, mas o caso a=0 (polinômio constante) está excluído. Nem o zero nem a soma de dois polinômios com coeficientes cúbicos que somem a zero pertencem a W. Logo (d) não é subespaço.

Passo 6

Analisamos a opção (e):
Esse não é nem subconjunto de , pois seus elementos são matrizes, não polinômios. Logo (e) está fora de .

Resposta

A única opção que é subespaço vetorial de P3 é a letra (c).

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