Seja
( conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3). Qual dos subconjuntos a seguir é subespaço vetorial de V?
Escolha uma opção:
a.
b.
com
c.
d.
com
e.
e
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual dos conjuntos listados é subespaço vetorial de
, o espaço de todos os polinômios de grau até 3. Para um subconjunto
ser subespaço, ele deve satisfazer três condições:
- conter o polinômio zero;
- ser fechado sob soma;
- ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Analisamos a opção (a):
O polinômio zero satisfaz
, logo o zero não está em
. Portanto (a) não é subespaço.
Passo 3
Analisamos a opção (b):
Aqui o polinômio zero corresponderia a
, mas esta escolha está proibida (
). Além disso, a soma de dois elementos de
pode ter coeficiente cúbico nulo e, portanto, sair de
. Logo (b) não é subespaço.
Passo 4
Analisamos a opção (c):
A condição
significa que
é constante. O conjunto de todos os polinômios constantes contém o polinômio zero, e soma ou escalar de constantes continua sendo constante. Portanto (c) satisfaz todas as condições de subespaço.
Passo 5
Analisamos a opção (d):
Se
, então
, mas o caso
(polinômio constante) está excluído. Nem o zero nem a soma de dois polinômios com coeficientes cúbicos que somem a zero pertencem a
. Logo (d) não é subespaço.
Passo 6
Analisamos a opção (e):
Esse
não é nem subconjunto de
, pois seus elementos são matrizes, não polinômios. Logo (e) está fora de
.
Resposta
A única opção que é subespaço vetorial de
é a letra (c).