Encontre uma transformação de variáveis ortogonal que diagonalize a forma quadrática e escreva em função das novas variáveis: .
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar uma mudança de variáveis ortogonal que transforme a forma quadrática
Q(𝐱)=2x₁²+5x₂²+5x₃²+4x₁x₂−4x₁x₃−8x₂x₃ numa soma de quadrados pendurada em coeficientes (diagonalização). Isso cai em Teoria de Matrizes Simétricas e aplicação do Teorema Espectral: representamos Q por uma matriz simétrica A, encontramos autovalores e autovetores ortonormais, e trocamos pra variáveis associadas a esses autovetores.
Passo 2
Primeiro a gente monta a matriz A que representa Q, sabendo que Q(𝐱)=𝐱ᵀA𝐱. Pelos coeficientes:
block::
[A = ]
Passo 3
Agora calculamos o polinômio característico det(A−λI)=0. Fazendo as contas chega-se a
block::
[\det(A−λI)=λ3−12λ2+21λ−10=0,]
que fatora como (λ−1)²(λ−10)=0. Logo os autovalores são λ₁=1 (multiplicidade 2) e λ₃=10.
Passo 4
Pra λ₃=10 resolvemos (A−10I)v=0. O sistema leva ao autovetor (1,2,−2). Normalizando fica
block::
[ u₃=\frac1{3}(1,2,−2). ]
Passo 5
Para λ=1 o sistema (A−I)v=0 dá x=−2y+2z, ou espaço gerado por v₁=(−2,1,0) e v₂=(2,0,1). Aplicamos Gram–Schmidt:
itemize::
Primeiro u₁= v₁/|v₁| = (−2,1,0)/√5.
Depois ortogonalizamos v₂ contra u₁ e normalizamos, resultando em
block::
[ u₂=\Bigl(\tfrac{2\sqrt5}{15},\tfrac{4\sqrt5}{15},\tfrac{\sqrt5}{3}\Bigr). ]
Passo 6
Os vetores u₁,u₂,u₃₁₂₃ formam uma base ortonormal. Se montarmos a matriz ortogonal P cujas colunas são esses ui, a transformação é
block::
[ 𝐱 = P𝐲, ]
e no sistema de variáveis 𝐲=(y₁,y₂,y₃)₁₂₃ a forma fica diagonal.
Passo 7
No fim aplicamos o Teorema Espectral: cada autovalor multiplica o quadrado da coordenada correspondente, dando a forma diagonal desejada.
Resposta
Escolhendo
u₁=\bigl(−2/√5,1/√5,0\bigr),
u₂=\bigl(2√5/15,4√5/15,√5/3\bigr),
u₃=\bigl(1/3,2/3,−2/3\bigr)
como colunas de P, a transformação ortogonal
x=P y
leva
Q(x)=y₁²+y₂²+10y₃².