Encontre uma transformação de variáveis ortogonal que diagonalize a forma quadrática e escreva Q em função das novas variáveis:
Q(x)=2 x1^2+5 x2^2+5 x3^2+4 x1 x2-4 x1 x3-8 x2 x3.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar uma mudança de variáveis ortogonal que transforme a forma quadrática
Q(𝐱)=2x₁²+5x₂²+5x₃²+4x₁x₂−4x₁x₃−8x₂x₃ numa soma de quadrados pendurada em coeficientes (diagonalização). Isso cai em Teoria de Matrizes Simétricas e aplicação do Teorema Espectral: representamos Q por uma matriz simétrica A, encontramos autovalores e autovetores ortonormais, e trocamos pra variáveis associadas a esses autovetores.

Passo 2

Primeiro a gente monta a matriz A que representa Q, sabendo que Q(𝐱)=𝐱ᵀA𝐱. Pelos coeficientes:
block::
[A = 2 & 2 & -2 2 & 5 & -4 -2 & -4 & 5]

Passo 3

Agora calculamos o polinômio característico det(A−λI)=0. Fazendo as contas chega-se a
block::
[\det(A−λI)=λ3−12λ2+21λ−10=0,]
que fatora como (λ−1)²(λ−10)=0. Logo os autovalores são λ₁=1 (multiplicidade 2) e λ₃=10.

Passo 4

Pra λ₃=10 resolvemos (A−10I)v=0. O sistema leva ao autovetor (1,2,−2). Normalizando fica
block::
[ u₃=\frac1{3}(1,2,−2). ]

Passo 5

Para λ=1 o sistema (A−I)v=0 dá x=−2y+2z, ou espaço gerado por v₁=(−2,1,0) e v₂=(2,0,1). Aplicamos Gram–Schmidt:
itemize::
  • Primeiro u₁= v₁/|v₁| = (−2,1,0)/√5.
  • Depois ortogonalizamos v₂ contra u₁ e normalizamos, resultando em
    block::
    [ u₂=\Bigl(\tfrac{2\sqrt5}{15},\tfrac{4\sqrt5}{15},\tfrac{\sqrt5}{3}\Bigr). ]

Passo 6

Os vetores u₁,u₂,u₃ formam uma base ortonormal. Se montarmos a matriz ortogonal P cujas colunas são esses ui, a transformação é
block::
[ 𝐱 = P𝐲, ]
e no sistema de variáveis 𝐲=(y₁,y₂,y₃) a forma fica diagonal.

Passo 7

No fim aplicamos o Teorema Espectral: cada autovalor multiplica o quadrado da coordenada correspondente, dando a forma diagonal desejada.

Resposta

Escolhendo
u₁=\bigl(−2/√5,1/√5,0\bigr),
u₂=\bigl(2√5/15,4√5/15,√5/3\bigr),
u₃=\bigl(1/3,2/3,−2/3\bigr)
como colunas de P, a transformação ortogonal
x=P y
leva
Q(x)=y₁²+y₂²+10y₃².

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